A ordem de integração (primeiro em relação a y e depois em relação a x ou o contrário) mostra sobre qual região se está integrando.
Na integral que você forneceu, por exemplo, fixando x, vemos que y varia de -(1-x²)^(1/2) até 0, o que mostra que a região é obtida após dois cortes (um paralelo ao eixo y e outro exatamente no eixo x) de um círculo centrado na origem e com raio unitário. O segundo limite de integração mostra onde foi exatamente o corte paralelo ao eixo y. Como x varia de 0 a -1, temos que esse corte foi exatamente no eixo y. Ou seja, a região é intersecção de um círculo centrado na origem e com raio unitário com o 3º quadrante.
Esboço da região:
Anexo:
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A mudança para coordenadas polares, nesse caso, permite que você caminhe pela figura seguindo a sua simetria (fixando um ângulo, varia-se o r entre limites constantes e depois varia-se o ângulo também entre limites constantes). Observe:
Anexo:
CodeCogsEqn3.gif [ 4.86 KiB | Visualizado 1509 vezes ]
No geral,sempre que tiver algum tipo de simetria circular na figura talvez valha à pena fazer mudança para coordenadas polares.
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Resolver a integral depois de feita a mudança é algo muito tranquilo.