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Sejam E, F espaços normados ,U um subconjunto aberto em E e conexo e \(f : U \subset E \longrightarrow F\) uma função derivável . Suponha que a função derivada de f é constante , i.e , existe uma transformação linear \(T : E \longrightarrow F\) tal que \(Df(x) \equiv T , \forall x \in U\) , então \(f(x) = T(x) + k , \forall x \in U\) para algum \(k \in F\) .

Minha ideia é a seguinte :

Fixo \(a \in U\) , considero \(k := f(a) - T(a)\) e defino a seguinte aplicação :

\(d : U \subset E \longrightarrow \mathbb{R}\) pondo para cada \(x \in U\) , \(d(x) := || f(x) - T(x) - K ||_{F}\) .

Daí o resultado segue por estabelecer que \(d(x) = 0\) p todo x em U . Para tal , será necessário dois lemas :

Lemma 1 : (Permanência do sinal ) Seja \(X\) um espaço topológico e \(f : X \longrightarrow \mathbb{R}\) uma função contínua . Se ,

\(f(x_0) > 0\) p/ algum \(x_0 \in X\) , então existe uma vizinhança \(U_{x_0}\) de \(x_0\) tal que \(f(x) > 0 \forall x \in U_{x_0}\)

Lemma 2 : Sejam A,B espaços topológicos . Se A é conexo e a topologia definida em B é a discreta , então qualquer aplicação contínua \(f : A \longrightarrow B\) é constante .

Agora definamos a seguinte aplicação : \(\zeta : x \in U \mapsto \min \{ n \in \mathbb{N} : d(x) + 1 \leq n \} \in \mathbb{N}\) .

Tal aplicação está bem definida e \(\zeta(a) = 1\) . Afirmo que vale a igualdade para todo x em U . Em virtude do lemma 2 ,neste caso basta mostra que \(\zeta^{-1} (n)\) é aberto , para todo \(n \in \mathbb{N}\) e para obter tal resultado uso lemma 1 .

E finalmente consigo mostrar \(\zeta = 1\) , donde segue que \(d(x) = 0 , \forall x \in U\) .

O que acham ?

Cometi um equivoco . Acho que podemos proceder assim :

Podemos a principio assumir que \(U\) é convexo e \(T \equiv O_{L(E,F)}\) .Para cada funcional linear \(\omega : F \longrightarrow \mathbb{R}\) dado , defina a aplicação : \(g_{\omega} : = \omega \circ f : U \subset E \longrightarrow \mathbb{R}\) . Temos assim uma função derivável definida num aberto convexo de E tomando valores em \(R\) . Aplicando o teorema do valor médio (TVM) vem que : \(g_\{\omega} (x) = \omega (f(x)) = \omega (f(a) ) , \forall x \in U\) . Como , esta igualdade vale p/ todo funcional linear , então pelo teorema de Hahn–Banach tem-se \(f(x) = f(a) \forall x \in U\) .

(P.S.: Caso \(||.||_{F}^2 : x \in F \mapsto ||x||_F^2 \in \mathbb{R}\) seja derivável ( ou restrita a U seja derivável ) , podemos definir
\(\zeta : U \subset E \longrightarrow{R} , \zeta(x) := ||f(x) - f(a)||_{F}^2\) , que é derivável (pela regra da cadeia ) , e \(D\zeta(x) \equiv O_L{E, \mathbb{R})} \forall x \in U\) .Uma aplicação do TVM resulta que \(\zeta(x) = 0 , \forall x \in U\) , estabilizando \(f\) constante .

) Ainda supondo \(T \equiv O_{L(E,F)}\) , seja

U aberto conexo , defina \(G:= \{ x \in U : f(x) = f(a) \} \equiv f^{-1} (f(a))\) . Temos que \(G\) é fechado e não vazio , mas também é aberto ! Pois , dado \(x \in G\) , podemos escolher \(\delta > 0\) tal que \(V := B_{\delta}^{|| . ||_{E} } (x) \subset U\) .

Como qualquer bola num espaço normado é convexa , então V é um convexo aberto em E ; logo f restrita a V é constante , donde \(f(y) = f(x) = f(a) , \forall y \in V\) o que implica que \(V \subset G\) . Portanto \(G\) é aberto como afirmado e assim , \(G = U\) .

O caso geral se reduz a este acima definindo :

\(\gamma : U \subset E \longrightarrow F , \gamma(x) := f(x) - T(x)\) .

Temos \(D\gamma(x) \equiv O_{L(E,F)} , \forall x \in U\) donde \(\gamma\) é constante .