Fórum de Matemática
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Gente, boa noite.

Obtenha todos os pontos críticos da função e verifique se cada um é máximo local,
mínimo local ou ponto de sela:

h(x)=e^{x^3 -7x^2 +18x +\sqrt{29}}


O problema advém, em resumo, do fato de já na primeira derivada encontrarmos valores complexos. Como determinar se há ou não os pontos de máximo e de mínimo, para valores não reais? Agradeceria postarem a resolução completa, pois fiquei com muitas dúvidas na resolução desta questão.

Deixo abaixo a notação correta da função, pois creio não consegui formatá-la corretamente.
Muito obrigada pela ajuda.
Abraços.

Bom dia,

Se a derivada não se anula (não tem zeros reais), então ela será sempre positiva ou sempre negativa (neste caso, sempre positiva). Assim a função será estritamente crescente. Não tem pontos críticos nem extremantes.

Sobolev, obrigada por me ajudar! (Desculpe, não consegui aprender a formatar equações aqui, pelo tutorial. Vou colocá-las do jeito simples.)

Não entendo como funciona. Só é possível encontrar pontos críticos para funções no plano real?? Por que não funciona no plano complexo? Ou seja, por que não posso utilizar na segunda derivada as raízes complexas encontradas na primeira?


=====
Os cálculos que eu havia feito, para verificar o que ocorre, são estes:

h'(x) = e^(x^3 -7x^2 +18x +sqrt(29))*(3x^2 -14x +18)
Igualando a zero os dois casos, teríamos:

a) e^(x^3 -7x^2 +18x +sqrt(29))=0
Mas e^t tem imagem real positiva e diferente de zero para qualquer t pertencente ao conjunto dos complexos.
Se f(t) = e^t nunca é zero, então não há solução para e^(x^3 -7x^2 +18x +sqrt(29))=0

b) (3x^2 -14x +18) =0
Delta = -20
Raízes complexas: (7 +- i sqrt(5))/3
Portanto, teríamos essas raízes como dois pontos críticos de h(x). Confirmando com o software Wolfram Alpha, ele consta as raízes como pontos críticos...
Mas aplicar esses pontos na segunda derivada de h(x) seria possível??
h''(x) = e^(x^3 -7x^2 +18x +sqrt(29))*(9x^4 -84x^3 +304x^2 -498x +310)
h'' [(7+ i sqrt(5))/3] = -1,155109 *10^10 + 1,060288 *i *10^10 (< 0)
h'' [(7 - i sqrt(5))/3] = -1,155109 *10^10 - 1,060288 *i *10^10 (< 0)
=====

Ou seja, consegui encontrar valores, e são negativos, embora pertencentes ao plano complexo. Os livros que pesquisei não citam nada além do caso de pontos reais, e muito menos exemplos com funções exponenciais, de forma que não consigo encontrar referências para analisar esse caso... Se fossem valores reais, deduziria a existência de dois pontos de máximo. Por que motivo diria que estes pontos de máximo não existem, no caso de h(x)? Como funciona essa avaliação de pontos críticos no plano complexo??

Se puder me organizar os neurônios em parafuso, desde já meu imenso obrigada.

Para determinar os extremantes de uma função de variável real apenas são relevantes os zeros reais da derivada. Os zeros da derivada são importantes pois marcam os pontos em que a derivada pode mudar de sinal ( se a derivada for contínua, para mudar de sinal tem que passar pelo valor 0). Se a derivada passa de positiva a negativa (função crescente e depois decrescente) trata-se de um maximizante, e se passar de negativa a positiva (função decrescente e depois crescente) trata-se de um minimizante. Se a derivada se anula mas não troca de sinal, estamos perante um ponto de sela.

As raizes complexas da deriva não são importantes para este efeito porque se uma função não tem raizes em R, é porque é sempre positiva ou sempre negativa. Do ponto de vista da optimização, uma função sempre crescente ou sempre decrescente em R não tem máximos nem mínimos (locais ou globais).

Entendi.
Sobolev, muito muito obrigada. Por seu carinho e desvelo, atenção e cuidado.
Tenho muito a aprender sobre esse tema. Havia pesquisado vários livros de cálculo (Anton/Bivens, Stwart, Thomas, Simons, Schaum, Patrão) e internet, e não havia encontrado alguém que falasse sobre esse tipo de caso (pontos críticos em exponenciais e valores complexos) de forma mais clara. Haviam apenas as orientações gerais para polinômios comuns, de forma que não consegui transportar sozinha o conhecimento oferecido para outras ocorrências mais complicadas de funções.
Por esse motivo, sua ajuda está sendo crucial para meu entendimento. Muito obrigada, de coração.
Poderia indicar-me algum material onde pudesse ler mais a respeito e compreender melhor a profundidade desse assunto?

Papai do Céu te abençoe. <3
Abraços,
Ale (chuvanocampo).

(P.S. Havia procurado também em dois livros de Análise, um do professor Elon Lages Lima e o outro do professor Geraldo Ávila...)