Resolver eq. diferencial (d²T)/(dr²)+(2/r)*(dT/dr)=0

[Zifles]

Uma esfera com um raio=1m tem temperatura=15ºC. Ela se encontra dentro de uma esfera concêntrica com raio=2m e temperatura=25ºC. A temperatura T(r) em uma distância r do centro comum das esferas satisfaz a equação diferencial

(d²T)/(dr²) + (2/r)*(dT/dr) = 0

Se adotar S=dT/dr, então S satisfaz uma equação diferencial de primeira ordem. Encontre uma expressão para a temperatura T(r) entre as duas esferas.

[Zifles]

Para facilitar..

Anexos

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[João P. Ferreira]

Fazendo \(T=y\) e \(r=x\) para me facilitar o pensamento, temos

\(y''+\frac{2y'}{x}=0\)

fazendo uma mudança de variável \(y'=z\) tem-se \(y''=z'\), então

\(z'+\frac{2 z}{x}=0\)

\(\frac{dz}{dx}+\frac{2 z}{x}=0\)

\(\frac{dz}{2z}+\frac{dx}{x}=0\)

temos então a forma canónica, integrando dos dois lados

\(\int \frac{dz}{2z}+\int \frac{dx}{x}=C_1\)

\(1/2\log(z)+\log(x)=C_1\)

fazendo \(e^{f(x)}\) dos dois lados

\(\sqrt{z}.x=C_1\)

\(z.x^2=C_1\)

voltando à nossa substituição inicial

\(y'.x^2=C_1\)

\(y'=\frac{C_1}{x^2}=C_1 x^{-2}\)

logo primitivando

\(y=C_1 x^{-2+1}/(-2+1)+C_2\)

ou seja

\(y=-\frac{C_1}{x}+C_2\)

\(T=-\frac{C_1}{r}+C_2\)

acho que é isto, dúvidas diga....

PS: custa muito ser descritivo no Assunto da pergunta????

[Zifles]

Desculpa se eu não me expressei corretamente.. mas sou muito grato João, obrigado mesmo por me ajudar!