Fórum de Matemática
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A figura ABCD é um retângulo tal que : BD = 6cm, AD = 3cm, E é um ponto do lado AB e AE = x.
Determine a lei que expressa a área y do triangulo BDE em função de x. A figura esta anexada.

Caro xRosbergx, vamos juntos. Não estou muito seguro, mas vamos lá.

Se você olhar a figura, vai constatar que a área do triângulo pretendido está entre duas outras: a primeira, o retângulo todo; a segunda, a área do triângulo ADE.

Se soubermos a área do retângulo e soubermos também a área de ADE, o que existe entre elas é a nossa área.

Então vamos lá, vamos calcular a área do retângulo.

Sabemos a altura, que é de 3cm, mas não sabemos a largura.

Mas, sabemos a diagonal do retângulo, que faz com que parte dele (a sua metade) seja um grande triângulo, por exemplo, BDC.

O lado mais largo do retângulo não nos foi dado. Vamos chamá-lo de 'k'.
A diagonal do retângulo (vamos chamá-la de 'h') é a hipotenusa que sempre nos clama por Pitágoras. E graciosamente nos foi dada: 6cm.

Então, podemos dizer que

\(h^2 = 3^2+(k)^2\)

Ou seja, o quadrado da hipotenusa (nossa diagonal) é igual ao quadrado do lado de 3cm, mais o quadrado do lado desconhecido, 'k'.

\(36 = 9+k^2\)

ou seja

\(k=5\)

Muito bem, já temos as dimensões do retângulo. Sua área então será

\(A_r = 5 \times 3 = 15 cm^2\)

E o triângulo ADE, como vamos calculá-lo?
Sabe-se que área de triângulo é a base x altura. A base, no caso, é 'x', porque o problema disse que o segmento AE é 'x' e a altura 3cm.

A área desse triângulo é

\(A_t = \frac{3\times x}{2} cm^2\)

Então, já temos duas áreas: a área maior, a do retângulo, e a área do triângulo mais à esquerda. Faltou a área do triângulo espremido entre esses dois. Então, a área pedida, será a diferença entre as duas primeiras:

\(A_r-A_t\)

\(y=15 - \frac{3x}{2}\)

Para ficar mais bonitinho,

\(y = - \frac{3x}{2}+15\)

Será que acertei?

Um abração,
Mauro

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"

Mauro A resposta para essa pergunta é :

Caro xRosbergx, eu sinto muito. Cometi erros crassos aí. Me desculpe mesmo. Vou tentar refazer.

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"

Mil perdões, cometi um erro aritmético, ao fazer 36-9=25, ao invés de 27. Vamos lá tudo de novo:

Caro xRosbergx, vamos juntos. Não estou muito seguro, mas vamos lá.

Se você olhar a figura, vai constatar que a área do triângulo pretendido está entre duas outras: a primeira, o retângulo todo; a segunda, a área do triângulo ADE.

Se soubermos a área do retângulo e soubermos também a área de ADE, o que existe entre elas é a nossa área.

Então vamos lá, vamos calcular a área do retângulo.

Sabemos a altura, que é de 3cm, mas não sabemos a largura.

Mas sabemos a diagonal do retângulo, que faz com que parte dele (a sua metade) seja um grande triângulo, por exemplo, BDC.

O lado mais largo do retângulo não nos foi dado. Vamos chamá-lo de 'k'.
A diagonal do retângulo (vamos chamá-la de 'h') é a hipotenusa que sempre nos clama por Pitágoras. E graciosamente nos foi dada: 6cm.

Então, podemos dizer que

\(h^2 = 3^2+(k)^2\)

Ou seja, o quadrado da hipotenusa (nossa diagonal) é igual ao quadrado do lado de 3cm, mais o quadrado do lado desconhecido, 'k'.

\(36 = 9+k^2\)

ou seja

\(k=\sqrt{27}\)

Muito bem, já temos as dimensões do retângulo. Sua área então será

\(A_r =( \sqrt{27} \times 3) cm^2\)

E o triângulo ADE, como vamos calculá-lo?
Sabe-se que área de triângulo é a base x altura. A base, no caso, é 'x', porque o problema disse que o segmento AE é 'x' e a altura 3cm.

A área desse triângulo é

\(A_t = (\frac{3\times x}{2}) cm^2\)

Então, já temos duas áreas: a área maior, a do retângulo, e a área do triângulo mais à esquerda. Faltou a área do triângulo espremido entre esses dois. Então, a área pedida, será a diferença entre as duas primeiras:

\(A_r-A_t\)

\(y=3 \times \sqrt{27} - \frac{3x}{2}\)

\(y=3 \times \sqrt{3^3} - \frac{3x}{2}\)

\(y=3 \times \sqrt{3 \times 3^2} - \frac{3x}{2}\)

\(y=3 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3^2} - \frac{3x}{2}\)

\(y=3 \times \sqrt{3} \times 3 - \frac{3x}{2}\)

Para ficar mais bonitinho,

\(y = - \frac{3x}{2}+9 \sqrt{3}\)

Agora fiquei em dúvida quanto a sua indicação de resposta certa: é tudo sobre 2 mesmo? Achei apenas o denominador 2 sob o 3x.

Mil desculpas e um abração,
Mauro

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"

Muito Obrigado por resolver a questão Mauro. Sempre bom ter alguem que ajude as pessoas. Parabéns!