Integrai impróprias

[mat]

Verifique se a integral indo de 1 a infinito de sen²x/x² dx
Desde já, Obrigada!

[mat]

Verificar se converge ou não

[Man Utd]

Verifique se a integral indo de 1 a infinito de sen²x/x² dx Verificar se converge ou não
Desde já, Obrigada!

vamos utilizar o critério de comparação:

perceba que \(\\\\ 0\leq sen^{2}x\leq 1\) ,para x>=1,já que imagem de sen x é [-1,1],então sen²x rebate a parte negativa da função, faça um esboço se precisar.

vamos dividir ambos os lados da desigualdade por x², já que não alteraria a desigualdade pois x² é sempre positivo:

\(\\\\ 0\leq \frac{sen^{2}x}{x^{2}}\leq \frac{1}{x^{2}}\)

então vamos resolver a integral imprópria \(\\\\ \int_{1}^{+\infty } \frac{1}{x^{2}} dx\) :

\(\\\\\\ \int_{1}^{+\infty } \frac{1}{x^{2}} dx=\lim_{p\rightarrow +\infty }\int_{1}^{p } \frac{1}{x^{2}} dx \\\\\\ \int_{1}^{+\infty } \frac{1}{x^{2}} dx=\lim_{p\rightarrow +\infty }-\frac{1}{p}+1 \\\\\\ \int_{1}^{+\infty } \frac{1}{x^{2}} dx=1\)

então pelo critério da comparação a integral converge.