Utilizando o
critério da comparação:
Sabemos que : \(\; 0<\; \frac{(x+1)^{\alpha}}{\sqrt[3]{x^6+x+1}}\; \leq \; \frac{(x+1)^{\alpha}}{\sqrt[3]{x+1}}\) , para
TODO \(x\geq 0\)
Então se a integral \(\int_{0}^{+\infty} \; \frac{(x+1)^{\alpha}}{\sqrt[3]{x+1}}\; dx\) convergir, a integral \(\int_{0}^{+\infty }\;\frac{(x+1)^\alpha }{\sqrt[3]{x^6+x+1}}\; dx\) também convergirá.
Segue que :
\(\int_{0}^{+\infty} \; \frac{(x+1)^{\alpha}}{\sqrt[3]{x+1}}\; dx=\; \lim_{p \to +\infty} \; \int_{0}^{p} \; \frac{(x+1)^{\alpha}}{\sqrt[3]{x+1}}\; dx\)
\(\int_{0}^{+\infty} \; \frac{(x+1)^{\alpha}}{\sqrt[3]{x+1}}\; dx=\; \lim_{p \to +\infty} \; \frac{3(p+1)^{a+\frac{2}{3}}}{3a+2}-\frac{3}{3a+2}\)
Veja que na primeira parcela do limite, se o expoente de \((p+1)\) , que é :\(a+\frac{2}{3}\) for negativo, poderemos aplicar a propriedade de potência : \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\), como o numerador é uma constante e o denominador seria \(+\infty\) então a primeira parcela do limite seria \(0\), sobrando a segunda parcela do limite que é um valor real.
Então os valores de \(\alpha\) que farão a integral imprópria convergir são tais que:
\(\alpha+\frac{2}{3}<0 \;\; \rightarrow \;\; \alpha<-\frac{2}{3}\) , Observe que se \(\alpha=-\frac{2}{3}\) , zeraria o denominador e faria a integral divergir.
\(\LARGE \fbox{\fbox{\fbox{\fbox{ \mathbb{S}=\left{\alpha \;\; \epsilon \;\; \mathbb{R} \;\; \left| \;\; \alpha<-\frac{2}{3} \right}}}}}\)
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