Fórum de Matemática
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calcule:

olá


dado o limite: \(\LARGE \\\\\\ \lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt[n]x-\sqrt[n]a}{\sqrt[m]x-\sqrt[m]a}\)
divida o numerador e denominador por: \(\\\\\\ x-a\) e separe em dois limites usando a propriedade do limite, ficando com:


\(\LARGE \\\\\\ \frac{\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt[n]x-\sqrt[n]a}{x-a}}{\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt[m]x-\sqrt[m]a}{x-a}}\)



lembre-se agora da propriedade : \(\\\\\\ a^{n}-b^{n}=(a-b)*(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})\) :


no limite do numerador:


\(\LARGE \\\\\\ \lim_{x\rightarrow a}\frac{(\sqrt[n]x-\sqrt[n]a)}{(\sqrt[n]x-\sqrt[n]a)*(\sqrt[n]x^{n-1}+\sqrt[n]x^{n-2}*\sqrt[n]a+...+\sqrt[n]x*\sqrt[n]a^{n-2}+\sqrt[n]a^{n-1})}\)



\(\LARGE \\\\\\ \lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{\sqrt[n]x^{n-1}+\sqrt[n]x^{n-2}*\sqrt[n]a+...+\sqrt[n]x*\sqrt[n]a^{n-2}+\sqrt[n]a^{n-1}} \\\\\\ \frac{1}{\sqrt[n]a^{n-1}+\sqrt[n]a^{n-2}*\sqrt[n]a+...+\sqrt[n]a*\sqrt[n]a^{n-2}+\sqrt[n]a^{n-1}} \\\\\\ \frac{1}{n*\sqrt[n]a^{n-1}}\)



agora o limite do denominador:

\(\LARGE \\\\\\ \lim_{x\rightarrow a}\frac{(\sqrt[m]x-\sqrt[m]a)}{(\sqrt[m]x-\sqrt[m]a)*(\sqrt[m]x^{m-1}+\sqrt[m]x^{m-2}*\sqrt[m]a+...+\sqrt[m]x*\sqrt[m]a^{m-2}+\sqrt[m]a^{m-1})}\)



\(\LARGE \\\\\\ \lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{\sqrt[m]x^{m-1}+\sqrt[m]x^{m-2}*\sqrt[m]a+...+\sqrt[m]x*\sqrt[m]a^{m-2}+\sqrt[m]a^{m-1}}\)



\(\LARGE \\\\\\ \frac{1}{\sqrt[m]a^{m-1}+\sqrt[m]a^{m-2}*\sqrt[m]a+...+\sqrt[m]a*\sqrt[m]a^{m-2}+\sqrt[m]a^{m-1}} \\\\\\ \frac{1}{m*\sqrt[m]a^{m-1}}\)


voltando agora ,para fazermos algumas simplificações:


\(\LARGE \\\\\\ \frac{\frac{1}{n*\sqrt[n]a^{n-1}}}{\frac{1}{m*\sqrt[m]a^{m-1}}}\)


\(\LARGE \\\\\\ \frac{m\sqrt[m]a^{m-1}}{n*\sqrt[n]a^{n-1}} \\\\\\ \frac{ma^{\frac{m-1}{m}}}{n*a^{\frac{n-1}{n}}} \\\\\\ \frac{m \sqrt[mn]{a}^{m-n}}{n}\)


confira com o gabrito.

att.

Chegando aqui também podia simplesmente identificar os limites envolvidos como sendo derivadas... Assim, designando \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) e \(g(x)=\sqrt[m]{x}\), o limite em causa é justamente \(\frac{f'(a)}{g'(a)}\), que corresponde ao resultado obtido.

qual resolução é a certa?

as duas estão corretas

mas a resolução que não foi desenvolvida por você, não tem mais coisas?

vc,conhece derivadas? se sim bastar derivar \(f(x)=\sqrt[n]x\) e \(g(x)=\sqrt[m]x\) , e colocar o resultado obtido assim:

\(\frac{f'(x)}{g'(x)}\) , e depois substituir x por "a".


note que isso foi explicado em mensagens anteriores.

att e cumprimentos