Inversa de f(x)= x²-6x+5

[talestozatti]

Ola, alguém poderia demostrar como eu acho a função inversa de f(x)= x²-6x+5.

[Sobolev]

Em primeiro lugar temos que decidir em que conjunto iremos determinar a função inversa. Como uma função apenas admite inversa em conjuntos onde é injectiva, apenas podemos obter a inversa de f em subconjuntos de \(]-\infty, 3]\) ou de \([3, +\infty[\).

Relativamente à expressão da inversa, "apenas" devemos resolver em ordem a x e equação
\(x^2-6x+5=y,\)

o que pode ser feito através da fórmula resolvente. Concretamente, obtemos

\(x = (6 \pm \sqrt{36-4(5-y)})/2 = ~3 \pm \sqrt{4+y}\)

pelo que podemos definir duas inversas, em diferentes intervalos:

\(f^{-1}: [-4, +\infty[ \to [3, +\infty[
y \mapsto 3 + \sqrt{4+y}\)

ou

\(f^{-1}: [-4, +\infty[ \to ]-\infty, 3]
y \mapsto 3 - \sqrt{4+y}.\)