Integral Tripla Volume - sólido de Steinmetz
13 nov 2013, 03:07
Calcular \(\int \int_{T} \int d V\) , onde \(T\) é a região limitada por \(x^2+y^2=4\) e \(y^2+z^2=4\) .
Gabarito.
Esboçando dá pra ver que o volume procurado são os dois sólidos (cilindros).
então:
\(\text{ \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{-\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}} 1 dzdydx}\)
Dúvida: Como prosseguir no cálculo desta integral? Já tentei passar para coordenadas cilíndricas ,mas mesmo assim não conseguir resolver esta integral:(
att.
Agradeço desde já
Gabarito.
Spoiler:
Esboçando dá pra ver que o volume procurado são os dois sólidos (cilindros).
então:
\(\text{ \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{-\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}} 1 dzdydx}\)
Dúvida: Como prosseguir no cálculo desta integral? Já tentei passar para coordenadas cilíndricas ,mas mesmo assim não conseguir resolver esta integral:(
att.
Agradeço desde já
Re: Integral Tripla Volume
13 nov 2013, 14:23
Boas
acho que o teu integral dá para resolver por substituição trigonométrica
\(x=2sen t\)
\(dx=2cos t dt\)
\(\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4-(2sen t)^2}=2cos t\)
Todavia, repara que se trata da interseção de dois cilindros, então o sólido correspondente é o denominado sólido de Steinmetz
http://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html
Repare ainda que o sólido em causa é simétrico, por isso podes calcular o volume em apenas um dos seus octantes e depois multiplicar por 8.
Outra técnica é reparares que a secção de corte horizontal é um quadrado centrado em (0,0) cujo lado mede \(2\sqrt{4-z^2}\)
assim o volume é o varrimento (integral) desse quadrado ao longo do eixo \(z\), ou seja \(\int_{-2}^2 2\sqrt{4-z^2}dz\) (para esta primitiva podes usar uma substituição trigonométrica)
dúvidas diz
um abraço
acho que o teu integral dá para resolver por substituição trigonométrica
\(x=2sen t\)
\(dx=2cos t dt\)
\(\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4-(2sen t)^2}=2cos t\)
Todavia, repara que se trata da interseção de dois cilindros, então o sólido correspondente é o denominado sólido de Steinmetz
http://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html
Repare ainda que o sólido em causa é simétrico, por isso podes calcular o volume em apenas um dos seus octantes e depois multiplicar por 8.
Outra técnica é reparares que a secção de corte horizontal é um quadrado centrado em (0,0) cujo lado mede \(2\sqrt{4-z^2}\)
assim o volume é o varrimento (integral) desse quadrado ao longo do eixo \(z\), ou seja \(\int_{-2}^2 2\sqrt{4-z^2}dz\) (para esta primitiva podes usar uma substituição trigonométrica)
dúvidas diz
um abraço
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Re: Integral Tripla Volume - sólido de Steinmetz
14 nov 2013, 12:35
Muito obrigado João P. Ferreira ajudaste muito.Achei muito interessante este tipo de sólido.
abraços amigo
abraços amigo
Re: Integral Tripla Volume - sólido de Steinmetz
14 nov 2013, 20:35
Nós é que agradecemos os seus nobres contributos à comunidade
um grande abraço
um grande abraço
Re: Integral Tripla Volume - sólido de Steinmetz [resolvida]
16 nov 2013, 20:12
2° modo :
vamos calcular o volume do primeiro octante e multiplicar por 8,para obtermos o sólido por completo.
então bastar calcular a integral tripla:
\(\text{\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-y^2}} \int_{0}^{\sqrt{4-y^2}} 8 dxdzdy }\)
Usando teorema de Fubini:
\(\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}} 8 dx=8\sqrt{4-y^2}\)
\(\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}}8\sqrt{4-y^2} dz=32-8y^2\)
\(\int_{0}^{2} 32-8y^2 dy= \frac{128}{3}\)
abraços
vamos calcular o volume do primeiro octante e multiplicar por 8,para obtermos o sólido por completo.
então bastar calcular a integral tripla:
\(\text{\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-y^2}} \int_{0}^{\sqrt{4-y^2}} 8 dxdzdy }\)
Usando teorema de Fubini:
\(\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}} 8 dx=8\sqrt{4-y^2}\)
\(\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}}8\sqrt{4-y^2} dz=32-8y^2\)
\(\int_{0}^{2} 32-8y^2 dy= \frac{128}{3}\)
abraços
Re: Integral Tripla Volume - sólido de Steinmetz
17 nov 2013, 22:31
excelente meu caro amigo
muito obrigado pela partilha
um abraço
muito obrigado pela partilha
um abraço