Mostre que a equação (√x2+3)=1+x+x2 tem pelo menos uma raiz real em (0,1).

[Kito]

NÃO TENHO CERTEZA SE RESOLVI CORRETAMENTE.
ALGUÉM PODE CONFIRMAR PRA MIM, POR FAVOR?

Mostre que a equação (√x2+3)=1+x+x2 tem pelo menos uma raiz real em (0,1).

(√x2+3)=1+x+x2

f(0)= (√02+3)=1+0+02
f(0)= √3≠1

f(1)= (√12+3)=1+1+12
f(1)= √4=3
f(1)= 2≠3

Obs.: Esse símbolo √ é raiz quadrada da soma dos dois números que estão entre parênteses, ok?

[Sobolev]

Boa tarde Kito,

A sua resolução não responde à questão. Na verdade apenas mostrou que nem 0 nem 1 são soluções da equação. A forma correcta de proceder é observar que as soluções da equação são exactamente as raízes da função

\(f(x)=\sqrt{x^2+3}-1-x-x^2\)

Ora, como f é uma função contínua no intervalo [0,1] e, além disso,

\(f(0) f(1) = (\sqrt{3}-1)(\sqrt{4}-1-1-1) = -\sqrt{3}+1 < 0\)

O teorema do valor intermédio permite concluir que existe pelo menos um ponto do intervalo ]0,1[ onde f se anula, que é por isso solução da equação.