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 Título da Pergunta: Periodicidade de função com raiz
MensagemEnviado: 25 nov 2013, 04:50 
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A função \(y=cos\left ( \sqrt{k}x)+\left ( sin\left ( \sqrt{k}x))/\sqrt{k}\)
com K >0 é periódica se, e somente se:

a) K pertence aos Q

b) \(\sqrt{k}\) pertence aos Q

c) K pertence aos R

A resposta correta é a letra b. Não consegui entender o porquê. Alguém, please?


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MensagemEnviado: 25 nov 2013, 09:53 
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uma questão intrigante... tente usar a definição de função periódica

para todo o \(x, \ f(x)=f(x+T)\) onde \(T\) é o periodo

\(f(x+T)=cos\left ( \sqrt{k}x+\sqrt{k}T)+\left ( sin\left ( \sqrt{k}x+\sqrt{k}T))/\sqrt{k}\)

tente desenvolver, lembrando-se das regras trigonométricas de \(cos(a+b)\) e de \(sen(a+b)\)

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João Pimentel Ferreira
 
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MensagemEnviado: 25 nov 2013, 21:28 
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Obrigado mais uma vez J.P. Ferreira.
Mas resolvendo como você sugeriu eu cheguei à conclusão de que "raiz de K" pertence aos naturais :(
Essa, inclusive, era uma das alternativas dessa questão, mas não a correta. Posso ter feito a análise errada, mas segue como eu fiz:
Anexo:
fotum2.png
fotum2.png [ 330.63 KiB | Visualizado 2244 vezes ]


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MensagemEnviado: 26 nov 2013, 00:26 
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pareceram-me bem as contas exceto (estou pensando alto)

\(\sqrt{k}T=2\pi n\)

\(\sqrt{k}=\frac{2\pi n}{T}\)

Fazendo \(T\) um múltiplo qualquer de \(\pi\) ficando \(T=k\pi\) tem-se

\(\sqrt{k}=\frac{2\pi n}{k\pi}=\frac{2 n}{k}\) para todo \(k,n \ \in N\) e isso é a definição dos números racionais, ou seja \(Q\)

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