Equação homogênea e equação particular

[Calculado]

A pergunta é: encontre a solução geral da equação

\(\frac{d^2 y}{d x^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 4y = x + sen 3x\)

Como faço esta questão?? não estou conseguindo..

[João P. Ferreira]

É uma equção linear do segundo grau não homogénea.

A solução geral é a soma da equação particular com a equação homogénea

Para achar a solução homogénea tem de achar a solução de

\(\frac{d^2 y}{d x^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 4y = 0\)

que equivale a solucionar o polinómio

\(Y^2-4Y+{4}={0}\)

para achar a solução particular pode usar por exemplo o método dos coeficientes indeterminados

[Calculado]

Bom, descobri que tinha faltado esta aula, e peguei a matéria hoje.

Tentei fazer ela e gostaria que corrigisse ela, só pra saber se está certo, se possível corrigir a outra que vou postar que também resolvi.

\(Y'' - 4Y' +4Y=x+ sen 3x\)

\(Y= Yhom + Ypar\)

\(Yh= r^2 - 4r +4\)

\(r1=r2=2\)

Logo, \(Yh= C1.e^2^x + C2.x.e^2^x\) .

Agora a solução particular.

\(Q(x)=x+sen 3x+cos 3x\)

\(Yp=Ax+B sen3x+ C cos3x\)

\(Y'p=A+3B sen3x - 3C cos3x\)

\(Y''p=-9B sen3x- 9C cos3x\)


Então \(Y'' - 4Y' +4Y=x+ sen 3x + cos 3x\)
Substituindo,
\(-9B sen3x- 9C cos3x - 4(A+3B sen3x - 3C cos3x) +4(Ax+B sen3x+ C cos3x)=x+ sen 3x + cos 3x\)

Simplificando

\(sen(7B)+cos(-17C)+x(4A)-4A=Ax+Bsen 3x+0cos3x\)

Por relação

\(7B=1\) então \(B=\frac{1}{7}\)

\(-17C=0\) então \(c=0\)

\(4A=1\) então \(A=\frac{1}{4}\)

Então

\(Yp=\frac{1}{4}x+\frac{1}{7} sen3x -1\)


Então a resposta é \(Y = \frac{1}{4}x+\frac{1}{7} sen3x -1 + C1.e^2^x + C2.x.e^2^x\)


E ai?? tudo está certo?

[João P. Ferreira]

Caro amigo, não confirmei cada passo, mas o Wolfram é uma excelente ferramenta para confirmar esses cálculos, ora veja, tem aí a sua solução
http://www.wolframalpha.com/input/?i=so ... in%283x%29

[Calculado]

Minha resposta está errada. :/

Me dá uma ajuda no inicio então... =x.sen x

eu uso mesmo Ax.Bsenx.Ccosx ?? Pode me dizer? esse que foi meu erro.

[João P. Ferreira]

dá trabalho verificar tudo, mas reparo por exemplo que falta um termo constante na sua solução particular

\(y_p=C_1+C_2x+C_3 sen(3x)+C_4 cos (3x)\)

http://nebm.ist.utl.pt/repositorio/download/1206

[Calculado]

Pelo http://www.wolframalpha.com/input/?i=so ... in%283x%29 ele mostra uma forma alternativa, que responde a questão exemplo
y''(x)-4 y'(x)+4 y(x) = x-sin^3(x)+3 sin(x) cos^2(x)

Existe algum método para descobrir estas variações de parâmetros?

[João P. Ferreira]

o wolfram dá passos muito avançados, não o use a não ser para ver o resultado final

sim, está na ligação que lhe enviei
http://nebm.ist.utl.pt/repositorio/download/1206

pode ver como se usa a variação das constantes

[João P. Ferreira]

Então \(Y'' - 4Y' +4Y=x+ sen 3x + cos 3x\)

isto está mal...

o que vc tem de fazer é substituir \(Y\), \(Y'\) e \(Y''\) pelos resultados que achar, mas do lado direito da equação fica o que lá sempre esteve

\(Y'' - 4Y' +4Y=x+ sen 3x\)

[Calculado]

Este eu consegui fazer. Achei o resultado certo.
Obrigado.
O outro exercicio que minha solução particular está dando 0. E não acho o erro.