Ajuda para entender um teorema

[Walter R]

Boa noite. Estou com uma certa dificuldade em entender a demonstração do seguinte teorema de análise real:

Teorema: seja \(a< c< b\). Se considerarmos apenas partições que contêm o ponto \(c\), obteremos os mesmos valores para \(\int_{-a}^{b}f(x)d(x)\) (integral inferior) e \(\int_{a}^{-b}f(x)d(x)\) (integral superior).

A demonstração formal é a seguinte: dada \(P\), acrescentando-lhe o ponto \(c\), obtemos uma partição \(P'\) tal que \(s(f;P)\leq s(f;P')\) (soma inferior) e \(S(f;P')\leq S(f;P)\) (soma superior). O teorema decorre então da seguinte observação: sejam \(A'\subset A\) e \(B'\subset B\) conjuntos limitados. Se, para cada \(a \in A\) e cada \(b \in B\) existem \(a'\in A'\) e \(b' \in B'\) tais que \(a\leq a'\) e \(b'\leq b\), então \(sup A'=supA\) e \(infB'=infB\).

Achei tudo isto muito confuso. Quem faz o papel de \(A,A',B,B'\) neste caso particular? Se alguém tiver alguma opinião, por favor, compartilhe.

[Sobolev]

Bom dia Walter,

Penso que A e B são os conjuntos dos possíveis valores das somas inferiores e superiores, isto é
\(A= \{x\in \mathbb{R}: x = s(f,P), \textrm{ para alguma particao P}\}
B= \{x\in \mathbb{R}: x = S(f,P), \textrm{ para alguma particao P}\}\)

A' e B' definem-se de igual modo, mas para alguma partição que inclua o ponto c.

Bom Natal!