Fórum de Matemática
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Sejam as funçoes \(f:\,\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R};
g(x)=|x-2|-x
f(x)=3x^{2}-5x+1.
f(x)=(fog)(x). Ache a \text{Im}\,(f)\)

Olá


primeiro veja que:

\(|x-2|= \begin{cases}\\\\ x-2 & \text{ se} & x-2 \geq 0 \rightarrow x \geq 2 \\\\ -x+2 & \text{se} & x-2<0 \rightarrow x<2 \end{cases}\)


então para \(x \geq 2\) teremos:

\(g(x)=x-2-x \;\; \rightarrow \; g(x)=-2\), a imagem de \(g(x)\) será sempre \(-2\)

Veja que esta possibilidade não convém, pois a função \(fog(x)\) é definida de \(\mathbb {R^{+}}\rightarrow \mathbb{R}\).



e para \(x<2\):

\(g(x)=-x+2-x \;\; \rightarrow \;\; g(x)=2-2x\) , temos que fazer \(2-2x \geq 0 \;\;\; x\leq 1\), por causa da definição : \(\mathbb {R^{+}}\rightarrow \mathbb{R}\).


então \(fog(x)=3*(2-2x)^{2}-5*(2-2x)+1 \;\; \rightarrow \;\; fog(x)=12x^{2}-14x+3\) , a imagem será obtida por \(\text{y_{vertice}}=-\frac{\Delta}{4*a}\), obtendo \(\text{y_{vertice}}=-\frac{13}{12}\), como a convidade é para cima temos que a imagem é \(y \geq -\frac{13}{12}\)

esboçando o gráfico da função \(fog(x)\):





analisando a figura percebemos que a imagem de \(\text{Im(fog)}\) é \(\left [-\frac{13}{12},+\infty \right ]\)


att.se houver dúvidas diga.