Limite com teorema de l'hopital

[kyon]

Pessoal, tem como me ajudarem com esse limite abaixo? Não estou conseguindo sair dele, só sei que tenho q usar o teorema de l'hopital,já tentei diversas vezes e não consigo. Desde já, obrigado!

LIM ( SENX/x)^1/x²
x->0(pela direita)

[Sobolev]

Bom dia,

Trata-se apenas de converter a indeterminação inicial numa à qual se possa aplicar a regra de L'Hôpital...

\(\lim_{x \to 0^+}(\sin x / x)^{1/x^2} = e^{\lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x^2} \log \frac{\sin x}{x}} \stackrel{*}{=}e^{-1/6}\)

(*)

\(\lim_{x \to 0^+} \frac{\log \frac{\sin x}{x}}{x^2}=\lim_{x \to 0^+} \frac{\left(\log \frac{\sin x}{x}\right)'}{(x^2)'}=\frac 12 \lim_{x \to 0^+}\frac{x \cos x - \sin x}{x^2 \sin x}\)

Se aplicar mais duas vezes a regra de L'Hôpital chega ao valor de -1/6 para este limite.