Integral Iterada de Seis Modos Diferentes

[raimundojr]

(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 32 - Pág.: 921)
Expresse a integral \(\iiint_E f(x, y, z)dV\) como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas.
x=2, y=2, z=0, x+y-2z=2

[João P. Ferreira]

caro, como calcula não lhe vamos colocar aqui os seis modos diferentes

está perante uma pirâmide de base quadrangular

na prática repare que tem seis combinações para fazer os integrais

\(\iiint dxdydz\)

\(\iiint dxdzdy\)

\(\iiint dydzdx\)

\(\iiint dydxdz\)

\(\iiint dzdxdy\)

\(\iiint dzdydx\)

[raimundojr]

É o mesmo que 3!=6 (lê-se: três fatorial), pois equivale a uma permutação simples de 3 elementos (os elementos aqui são os três diferenciais). Gostaria mesmo da análise dessa integral postada dos seis modos diferentes, porque gostaria de ver também a análise feita para cada domínio da integral tripla, mesmo assim obrigado.

Integral Tripla:
\(\iiint_B f(x, y, z)dxdydz\)
B: é o "conjunto domínio" sobre o qual irá ser feita a integração.

[João P. Ferreira]

Caro amigo

o objetivo do fórum não é resolver grupos de exercícios todavia dou-lhe aqui uma boa dica

vai em anexo figura do volume de integração e já dois integrais calculados

dúvidas diga, estamos aqui para ajudar...

Anexos

[raimundojr]

Obrigado por responder. Prezado amigo, não leve a mal. Porém, se eu soubesse responder a pergunta (quando a publiquei), nem teria me dado o trabalho de postá-la. Então, às vezes, gostaria de uma resposta mais objetiva do que ser escrito algo já conhecido (ou óbvio).

Obtive as integras abaixo. Poderia confirmar o resultado diferente de algumas? Às integrais:
Plano xy:

(1)\(\int_{0}^{2}\int_{2-x}^{2}\int_{0}^{\frac{x+y-2}{2}} f(x, y, z)dzdydx\)

Em (1) deve ter considerado o "triângulo abaixo do gráfico", na verdade, é o que está acima.

(2)\(\int_{0}^{2}\int_{2-y}^{2}\int_{0}^{\frac{x+y-2}{2}} f(x, y, z)dzdxdy\)

Confira dzdydx postado anteriormente.

01.jpg (12.79 KiB) Visualizado 4371 vezes

Plano yz:

(3)\(\int_{0}^{2}\int_{0}^{\frac{y}{2}}\int_{2z-y+2}^{2} f(x, y, z)dxdzdy\)

(4)\(\int_{0}^{1}\int_{2z}^{2}\int_{2z-y+2}^{2} f(x, y, z)dxdydz\)

02.jpg (11.93 KiB) Visualizado 4371 vezes

Plano xz:

(5)\(\int_{0}^{2}\int_{0}^{\frac{x}{2}}\int_{2z-x+2}^{2} f(x, y, z)dydzdx\)

(6)\(\int_{0}^{1}\int_{2z}^{2}\int_{2z-x+2}^{2} f(x, y, z)dydxdz\)

03.jpg (11.82 KiB) Visualizado 4371 vezes

[João P. Ferreira]

Caro Raimundo

Perdão, nâo quis ser rude, mas aparece ás vezes aqui cada coisa, que por vezes ficamos algo extenuados

Sim, tem toda a razâo, fiz mal aquele primeiro integral

os seus outros integrais parecem-me estar certíssimos, pelo menos executou muito bem o pensamento, tendo estruturado as ideias de como abordar o problema

Já agora, vejo que percebe de matemática, é muito bem-vindo a ajudar a comunidade
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um abraço

[raimundojr]

Muito obrigado e agradeço o convite.

[João P. Ferreira]

de nada, sempre ao dispôr

atentamente