Majorantes, Minorantes, Maximo, Minimo ,...

[fepvieira]

Boa tarde

Não consigo entender a resolução do seguinte exercício:

Determine em IR o conjunto dos majorantes, dos minorantes, o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo (caso existam) do seguinte conjunto

\(\left \{ \frac{a^n}{n!}: N\epsilon IR \right \} com a \epsilon IR tal que \left |a \right | < 2\)

Bom Natal

[Sobolev]

Boa tarde,

O conjunto, chamemos-lhe C, que indicou é o conjunto dos termos da sucessão \(u_n = \frac{a^n}{n!}\). Esta sucessão é crescente e convergente para zero. Vejamos então cada um dos conjuntos/elementos pedidos:

* O conjunto dos majorantes de C é constituído pelos números reais que são maiores ou iguais que qualquer elemento de C. Neste caso, como a sucessão é decrescente, o maior valor tomado pelos seus termos é \(u_1 = a\), pelo que o conjunto dos majorantes será \([a, +\infty[\)

* O conjunto dos minorantes de C é constituído pelos números reais que são menores ou iguais que qualquer elemento de C. Neste caso, como a sucessão é decrescente e convergente para zero com o primeiro termo positivo, todos os termos da sucessão são positivos, sendo possivel encontrar termos arbitrariamente próximos de zero , pelo que o conjunto dos minorantes será \([-\infty, 0]\).

* O Supremo é o menor dos majorantes, pelo que Sup C = a. Como a pertence a C, trata-se também do máximo.

* O Ínfimo é o maior dos majorantes, pelo que Inf C = 0. Como zero não pertence a C, o conjunto não tem mínimo.

[fepvieira]

Muito obrigado pela rápida resposta.

Mas de acordo com a resolução que eu tenho, está incompleto.

Visto que temos um módulo ( |a|\(<\) 2 ) a pode tomar vários valores. Gostaria então de saber quais os majorantes, minorantes quando:

a=0 ; 0\(< a < 2\); -2 \(< a< 0\) e o porque de serem esses os intervalos que temos de calcular.

Espero ter sido claro.

[Sobolev]

Não li bem o enunciado... A resolução que apresentei é válida apenas para 0 < a < 2. Os outros valores de a afectam os valores assumidos pela sucessão, pelo que os referidos conjuntos vão sofrer alterações. Se calcular alguns termos da sucessão enm cada um dos casos vai perceber imediatamente a diferença.

* Se a = 0 então C={0}, pelo que o conjunto dos minorantes será ]-Infinito, 0], o dos majorantes será [0, +Infinito[, e o infinimo, supremo, mínimo e máximo é sempre o zero.

* Se -2 < a < 0 teremos duas subsucessões, a dos pares com comportamento semelhante ao descrito no post anterior e a dos impares com comportamento simétrico (Sucessão crescente e convergente para zero cujo primeiro termo é -|a|. Neste caso:

Majorantes: [|a|, +Infinito[
Minorantes: ]-Infinito, -|a|]
Supremo / Máximo: |a|
Ínfimo / Mínimo:-|a|