Relações de equivalência voltadas a simetria e transitividade. Resolver R U S transitiva

[edmundo10]

Verdadeiro ou Falso ? Justifique provando

1 )Se R e S são simétricas, então R U S é simétrica.

2 ) Se R e S São transitivas, então R U S é transitiva.

Alguém sabe como se resolve essas questões?

Valeu.

[Fraol]

Boa noite,

Verdadeiro ou Falso ? Justifique provando

Esse provando que é dureza! Mas vamos lá:

1 )Se R e S são simétricas, então R U S é simétrica.

Vamos supor que \((a,b) \in R \cup S\), então \((a,b) \in R\) ou \((a,b) \in S\) e dessa forma \((b,a) \in R\) ou \((b,a) \in S\), pois \(R\) e \(S\) são simétricas por hipótese, e portanto \((b,a) \in R \cup S\). Logo a afirmação é verdadeira.

2 ) Se R e S São transitivas, então R U S é transitiva.

Essa aqui é falsa, você pode usar um contra-exemplo:

Consideremos \(R=\left \{ (x, y), (y,z), (x,z)\right \}\) e \(S=\left \{ (y, z), (z,w), (y,w) \right \}\).

Vemos que \((x,z) \in R \cup S\) e \((z,w) \in R \cup S\), mas \((x,w) \not \in R \cup S\).