Igualdade
22 mai 2012, 12:06
Bom dia,
Alguém me pode ajudar a mostrar esta igualdade.
Obrigado
Abraço.
Alguém me pode ajudar a mostrar esta igualdade.
Obrigado
Abraço.
- Anexos
-
- Exe6.PNG (6.53 KiB) Visualizado 3584 vezes
Re: Igualdade
22 mai 2012, 14:22
Essa é puxada 
Tente com o binómio de Newton
\(\left(x+y\right)^N=\sum_{k=0}^N{N \choose k}x^{N-k}y^k\)
Agora faça:
\(x=n+1\)
\(y=-1\)
\(x+y=n\)
Faça ainda
\(N=n-2\)
Fica então com:
\(n^{n-2}=\sum_{k=0}^{n-2}{{n-2} \choose k}(n+1)^{n-2-k}(-1)^k\)
faça a substituição
\(i=k+1\)
\(k=0 \Rightarrow i=1\)
\(k=n-2 \Rightarrow i=n-1\)
Então:
\(n^{n-2}=\sum_{i=1}^{n-1}{{n-2} \choose {i-1}}(n+1)^{n-i-1}(-1)^{i-1}\)
Não sei se é este o caminho, mas parece ser...
Continue...
Tente com o binómio de Newton
\(\left(x+y\right)^N=\sum_{k=0}^N{N \choose k}x^{N-k}y^k\)
Agora faça:
\(x=n+1\)
\(y=-1\)
\(x+y=n\)
Faça ainda
\(N=n-2\)
Fica então com:
\(n^{n-2}=\sum_{k=0}^{n-2}{{n-2} \choose k}(n+1)^{n-2-k}(-1)^k\)
faça a substituição
\(i=k+1\)
\(k=0 \Rightarrow i=1\)
\(k=n-2 \Rightarrow i=n-1\)
Então:
\(n^{n-2}=\sum_{i=1}^{n-1}{{n-2} \choose {i-1}}(n+1)^{n-i-1}(-1)^{i-1}\)
Não sei se é este o caminho, mas parece ser...
Continue...
Re: Igualdade
25 mai 2012, 10:57
Tente fazer por indução. Parece-me ser o caminho.
Re: Igualdade
25 mai 2012, 12:08
Sim caro José Sousa,
tem razão!!!
Por indução
Ora então
base:
é válido para n=3
\(\sum_{i=1}^{3-1}(-1)^{i-1}\binom{3}{i}(3-i)^{3-2}=3^{3-2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{2}(-1)^{i-1}\binom{3}{i}(3-i)=3 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (-1)^{1-1}\binom{3}{1}.(3-1)+(-1)^{2-1}\binom{3}{2}.(3-2)=3 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (-1)^{0}\binom{3}{1}.2+(-1)^{1}\binom{3}{2}=3 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 2.\binom{3}{1}-\binom{3}{2}=3 \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow {6-3}={3} \Leftrightarrow \\ \\ {3}={3}\)
base confirmada
Agora é só verificar que se é válido para n, também é válido para n+1
vamos substituir \(n\) por \(n+1\) e tentar chegar à expressão inicial
\(\sum_{i=1}^{n+1-1}(-1)^{i-1}\binom{n+1}{i}(n+1-i)^{n+1-2}=(n+1)^{n+1-2} \\ \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\binom{n+1}{i}(n+1-i)^{n-1}=(n+1)^{n-1} \\ (-1)^{n-1}\binom{n+1}{n}(n+1-n)^{n-1}+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n+1}{i}(n+1-i)^{n-1}=(n+1)^{n-1} \\ (-1)^{n-1}(n+1)+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n+1}{i}(n+1-i)^{n-1}=(n+1)^{n-1}\\ (-1)^{n-1}(n+1)+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\frac{n+1}{n+1-i}\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-1}=(n+1)^{n-1}\\ (-1)^{n-1}(n+1)+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}(n+1)\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-2}=(n+1)^{n-1}\\ \\ pondo \ (n+1)\ em \ evidencia \\ \\ (n+1)\left((-1)^{n+1}+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-2} \right )=(n+1)(n+1)^{n-2} \\ \\ corta \ (n+1) \ dos \ dois \ lados \\ \\ (-1)^{n+1}+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-2} =(n+1)^{n-2}\)
Epah, isto agora são contas siga para bingo...
tem razão!!!
Por indução
Ora então
base:
é válido para n=3
\(\sum_{i=1}^{3-1}(-1)^{i-1}\binom{3}{i}(3-i)^{3-2}=3^{3-2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{2}(-1)^{i-1}\binom{3}{i}(3-i)=3 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (-1)^{1-1}\binom{3}{1}.(3-1)+(-1)^{2-1}\binom{3}{2}.(3-2)=3 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (-1)^{0}\binom{3}{1}.2+(-1)^{1}\binom{3}{2}=3 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 2.\binom{3}{1}-\binom{3}{2}=3 \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow {6-3}={3} \Leftrightarrow \\ \\ {3}={3}\)
base confirmada
Agora é só verificar que se é válido para n, também é válido para n+1
vamos substituir \(n\) por \(n+1\) e tentar chegar à expressão inicial
\(\sum_{i=1}^{n+1-1}(-1)^{i-1}\binom{n+1}{i}(n+1-i)^{n+1-2}=(n+1)^{n+1-2} \\ \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\binom{n+1}{i}(n+1-i)^{n-1}=(n+1)^{n-1} \\ (-1)^{n-1}\binom{n+1}{n}(n+1-n)^{n-1}+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n+1}{i}(n+1-i)^{n-1}=(n+1)^{n-1} \\ (-1)^{n-1}(n+1)+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n+1}{i}(n+1-i)^{n-1}=(n+1)^{n-1}\\ (-1)^{n-1}(n+1)+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\frac{n+1}{n+1-i}\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-1}=(n+1)^{n-1}\\ (-1)^{n-1}(n+1)+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}(n+1)\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-2}=(n+1)^{n-1}\\ \\ pondo \ (n+1)\ em \ evidencia \\ \\ (n+1)\left((-1)^{n+1}+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-2} \right )=(n+1)(n+1)^{n-2} \\ \\ corta \ (n+1) \ dos \ dois \ lados \\ \\ (-1)^{n+1}+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-2} =(n+1)^{n-2}\)
Epah, isto agora são contas siga para bingo...
Re: Igualdade
25 mai 2012, 16:02
Meu caro, continuando a saga...
\((-1)^{n+1}+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-2} =(n+1)^{n-2}\\ \\ fazendo \ N=n+1 \ \\ \\ (-1)^N+\sum_{i=1}^{N-2}(-1)^{i-1}\binom{N-1}{i}(N-i)^{N-3} =N^{N-3}\\ \\ lembre-se \ que\\ \\ \binom{N-1}{i}=\frac{N-1}{i!(N-1-i)!}=\frac{\frac{N!}{N}}{i!\frac{(N-i)!}{N-i}}=\binom{N}{i}=\frac{N-i}{N}\\ \\\\ continuando... \\\\ (-1)^N+\sum_{i=1}^{N-2}(-1)^{i-1}\binom{N}{i}\frac{N-i}{N}(N-i)^{N-3} =N^{N-3}\\ \\\\ multiplicando \ por \ N \ dos \ dois \ lados \\ \\ N(-1)^N+\sum_{i=1}^{N-2}(-1)^{i-1}\binom{N}{i}(N-i)^{N-2} =N^{N-2}\\\)
Considerando agora a série na fórmula \(\sum a_i\)
Repare que a soma vai até \(N-2\), vamos ver qual o valor de \(a_i\) para \(i=N-1\)
\(a_i=(-1)^{i-1}\binom{N}{i}(N-i)^{N-2}\)
para \(i=N-1\) temos
\(a_{N-1}=(-1)^{N-2}\binom{N}{N-1}(N-N+1)^{N-2}=(-1)^N.N\)
que dá o primeiro termo da parcela na soma acima
Assim podemos dizer que
\(\sum_{i=1}^{N-1}(-1)^{i-1}\binom{N}{i}(N-i)^{N-2} =N^{N-2}\)
fazendo \(N=n\)
\(\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n}{i}(n-i)^{n-2} =n^{n-2}\)
c.q.d.
Esta foi bem puxada
Volte sempre
E lembre-se: sem esforço não há ganho!!!
Bons estudos!!!
\((-1)^{n+1}+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n}{i}(n+1-i)^{n-2} =(n+1)^{n-2}\\ \\ fazendo \ N=n+1 \ \\ \\ (-1)^N+\sum_{i=1}^{N-2}(-1)^{i-1}\binom{N-1}{i}(N-i)^{N-3} =N^{N-3}\\ \\ lembre-se \ que\\ \\ \binom{N-1}{i}=\frac{N-1}{i!(N-1-i)!}=\frac{\frac{N!}{N}}{i!\frac{(N-i)!}{N-i}}=\binom{N}{i}=\frac{N-i}{N}\\ \\\\ continuando... \\\\ (-1)^N+\sum_{i=1}^{N-2}(-1)^{i-1}\binom{N}{i}\frac{N-i}{N}(N-i)^{N-3} =N^{N-3}\\ \\\\ multiplicando \ por \ N \ dos \ dois \ lados \\ \\ N(-1)^N+\sum_{i=1}^{N-2}(-1)^{i-1}\binom{N}{i}(N-i)^{N-2} =N^{N-2}\\\)
Considerando agora a série na fórmula \(\sum a_i\)
Repare que a soma vai até \(N-2\), vamos ver qual o valor de \(a_i\) para \(i=N-1\)
\(a_i=(-1)^{i-1}\binom{N}{i}(N-i)^{N-2}\)
para \(i=N-1\) temos
\(a_{N-1}=(-1)^{N-2}\binom{N}{N-1}(N-N+1)^{N-2}=(-1)^N.N\)
que dá o primeiro termo da parcela na soma acima
Assim podemos dizer que
\(\sum_{i=1}^{N-1}(-1)^{i-1}\binom{N}{i}(N-i)^{N-2} =N^{N-2}\)
fazendo \(N=n\)
\(\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom{n}{i}(n-i)^{n-2} =n^{n-2}\)
c.q.d.
Esta foi bem puxada
Volte sempre
E lembre-se: sem esforço não há ganho!!!
Bons estudos!!!