Mostre que o conjunto X é denso

[Walter R]

Gostaria de saber se meu raciocínio para encontrar a solução deste problema está coreto, ou contém alguma falha. O problema é o seguinte:
"Seja \(p:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}\) integrável, com \(p(x)\geq 0\), para todo \(x \in [a,b]\). Prove que se \(\int_{a}^{b}p(x)dx=0\), então o conjunto dos pontos \(x \in [a,b]\) tais que \(p(x)=0\) é denso em \([a,b]\).

Seja então \(X=\left \{ x\in[a,b];p(x)=0 \right \}\). Queremos mostrar que \(X\) é denso em \([a,b]\). Ou seja, que todo intervalo aberto em \([a,b]\) contém algum ponto de \(X\). Mas, \(\int_{a}^{b}p(x)dx=0\Rightarrow \int_{-a}^{b}p(x)dx=\int_{a}^{-b}p(x)dx=0\Rightarrow \sup_P \;s(p(x);P)=\inf_P\; S(p(x);P)=o\), onde \(s(p(x);P)\) e \(S(p(x);P)\) são, respectivamente, as somas inferior e superior de \(p(x)\)
em relação a uma partição \(P\) de \([a,b]\).

Existe então uma partição \(P=\left \{ t_0,...,t_n \right \}\) de \([a,b]\) tal que \(\sum_{i=1}^n m_i(t_i-t_{i-1})=\sum_{i=1}^n M_i(t_i-t_{i-1})=0\), onde \(m_i\) e \(M_i\) são, respectivamente o inf e o sup de \(p(x)\) em cada intervalo \([t_{i-1},t_i]\) de \(P\). Então, necessariamente, cada intervalo de \(P\) contém algum ponto em que \(m_i=M_i=0\), ou seja, \(p(x)=0\). Se refinarmos a partição \(P\), a soma inferior não diminuirá, nem a soma superior aumentará. Teremos sempre, qualquer que seja a partição refinada, intervalos que conterão algum ponto em que \(p(x)=0\). Portanto, \(X\) é denso em \([a,b]\).

[Sobolev]

Bom dia Walter,

Um ponto problemático da sua demonstração é que não é evidente que tenha que existir uma partição nas condições que enuncia, já que os valores dos integrais superiores e inferiores são ínfimos e supremos tomados sobre o conjunto das partições, não sendo necessariamente mínimos ou máximos (i.e. o valor pode não ser atingido para nenhuma partição em particular).

[Walter R]

Bom dia, Sobolev. Entendi a tua objeção! Tens toda a razão. O fato do sup e do inf das somas ser zero não implica que a função assuma o valor zero em cada intervalo da partição. Terias então alguma sugestão para encaminhar a solução?

[Sobolev]

Sugiro que proceda por redução ao absurdo. Podemos admitir por absurdo que existe um subintervalo não vazio de [a,b] no qual a função não se anula (é portanto estritamente positiva) e ver quais as consequências relativamente às somas de Riemann.

[Walter R]

Mas isto não me faria enfrentar a mesma dificuldade? Digo: suponha que \(\exists x_0\in [a,b]\) e \(\exists \varepsilon >0\) tal que \((x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) \cap X =\) vazio. Consideremos uma partição \(P\) que tenha \(k\) intervalos contidos em \((x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon)\). Em cada um destes \(k\) intervalos, a função \(p(x)\) seria estritamente positiva, mas ainda assim o ínfimo da função em cada intervalo poderia ser zero.

[Rui Carpentier]

Permitem-me sugerir outra alternativa.
Primeiro: mostrar que se uma função integrável em [a,b] não-negativa tem integral nulo então o conjunto dos pontos não-nulos (positivos) é um conjunto de medida nula (observe que é a união numerável dos conjuntos de medida nula \(f^{-1}([1/n,+\infty[)\) (exercício)).
Segundo: mostrar que o complementar de um conjunto de medida nula é denso (considerando a medida e a topologia usuais).

[Sobolev]

Penso que não teria a mesma dificuldade. Repare que o ínfimo poderia ser zero, mas também tem que considerar o supremo, já que tanto o integral superior como o inferior devem ser nulos

[Walter R]

Rui, achei interessante esta maneira alternativa. Quanto à primeira afirmação, não poderia ser provada de modo análogo ao que propôs o Sobolev, ou seja, admitindo, por absurdo, que se \(X=\left \{ x\in[a,b];p(x)>0 \right \}\) tivesse medida não nula isto implicaria numa soma de Riemann não nula e numa integral não nula?

[Walter R]

Vou desenvolver um pouco mais o argumento do Sobolev. Se considerarmos um subintervalo não-vazio de \([a,b]\) no qual \(p(x)\) é estritamente positiva e uma partição \(P=\{t_0,...,t_n\}\) de \([a,b]\), com alguns de seus intervalos contidos dentro deste subintervalo, teremos a soma de Riemann em relação a esta partição como sendo\(\sum_{i=1}^n p(\varepsilon_i)(t_i-t_{i-1})>0\) (por causa da positividade estrita de \(p(x)\) neste subintervalo, a soma de Riemann continuará positiva qualquer que seja o pontilhamento adotado para a partição \(P\)). Temos então que \(s(p(x);P)\leq \sum_{i=1}^n p(\varepsilon_i)(t_i-t_{i-1})\leq S(p(x);P)\), qualquer que seja o pontilhamento adotado. A soma inferior pode ser zero, mas a soma superior é maior do que a soma de Riemann, que é um número positivo. Portanto, \(\int_{a}^{b}p(x)dx>0\), o que contraria a hipótese. Logo, devemos ter \(p(x)=0\) em qualquer subintervalo não nulo de \([a,b]\). Agora está correto?

[Sobolev]

Assim parece-me que a prova fica concluída. A sugestão do Rui Carpentier é interessante e de certo modo faz intervir uma importante caracterização das funções integráveis à Riemann: Uma função é Riemann-integrável no intervalo [a,b] se e só se for contínua em quase toda a parte em [a,b] (considerada a medida de Lebesgue).