Minimo quadrado polinomial

[Dante003]

Eu estou tentando encontrar o "a" e "b" que minimizam essa equação

yhat(k+1) = ay(k) + bu(k)

Usando o método dos mínimos quadrados tem-se essa equação

\(\sum_{k=1}^{N} \left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ]^2\)

Para encontrar os valores de a e b tem-se as seguintes equações

\(\frac{\partial }{\partial a}J(a,b) = -2\sum_{k=1}^{N} y(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ] = 0\)

\(\frac{\partial }{\partial b}J(a,b) = -2\sum_{k=1}^{N} u(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ] = 0\)

Eu sei que a resposta correta é essa de baixo, mas não estou conseguindo manipular as equações para chegar a isso

\(a = \frac{\sum_{k=1}^{N}u^2(k) \sum_{k=1}^{N}y(k)y(k+1) - \sum_{k=1}^{N}u(k)y(k) \sum_{k=1}^{N}u(k)y(k+1)}{\sum_{k=1}^{N}y^2(k) \sum_{k=1}^{N}u^2(k) - (\sum_{k=1}^{N}u(k)y(k))^2}\)

\(b = \frac{\sum_{k=1}^{N}y^2(k) \sum_{k=1}^{N}u(k)y(k+1) - \sum_{k=1}^{N}u(k)y(k) \sum_{k=1}^{N}y(k)y(k+1)}{\sum_{k=1}^{N}y^2(k) \sum_{k=1}^{N}u^2(k) - (\sum_{k=1}^{N}u(k)y(k))^2}\)

[João P. Ferreira]

partindo do princípio que tem os seus cálculos corretos pode igualar os somatórios

\(-2\sum_{k=1}^{N} y(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ]=-2\sum_{k=1}^{N} u(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ]\)

\(\sum_{k=1}^{N} y(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ]=\sum_{k=1}^{N} u(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ]\)

\(\sum_{k=1}^{N} y(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ]-\sum_{k=1}^{N} u(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ]=0\)

\(\sum_{k=1}^{N} \left(y(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ]-u(k)\left [ y(k+1) - ay(k) -bu(k) \right ]\right)=0\)

\(\sum_{k=1}^{N} \left(y(k) y(k+1) - ay^2(k) -b.y(k)u(k) -u(k) y(k+1) + a .u(k)y(k) -b.u^2(k) \right)=0\)

\(\sum_{k=1}^{N} \left(y(k) y(k+1) -b.y(k)u(k) -u(k) y(k+1) -b.u^2(k) + a(u(k)y(k) - y^2(k)) \right)=0\)

\(\sum_{k=1}^{N} \left(y(k) y(k+1) -b.y(k)u(k) -u(k) y(k+1) -b.u^2(k)\right) + a\sum_{k=1}^{N}(u(k)y(k) - y^2(k)) =0\)

avance, agora é fácil colocar o \(a\) em evidência

para o \(b\) é semelhante