Questão envolvendo integrais e primitivas

[Kopfl]

Considere a função \(g=g(x)\)

dada por, \(g(x)=\int_{2x}^{3x+1}cos(t^4)dt\)


Calcule \(f(x)=dy/dx\) justificando todas as passagens

[Sobolev]

Tem que utilizar o teorema fundamental do cálculo. Numa forma simples este diz que o integral indefinido de uma função é uma sua primitiva

\(F(x)=\int_a^x f(t)\,dt \qquad \Rightarrow \qquad F'(x)= f(x)\)

Usando a derivada de uma função composta, também podemos afirmar que

\(F(x)=\int_a^{h(x)} f(t)\,dt \qquad \Rightarrow \qquad F'(x)= h'(x)f(h(x))\)

E, usando propriedades elementares dos integrais,

\(F(x)=\int^{h_2(x)}_{h_1(x)} f(t)\,dt \qquad \Rightarrow \qquad F'(x)= h_2'(x)f(h_2(x))-h_1'(x)f(h_1(x))\)

No caso que apresenta,

\(g'(x)= (3x+1)' \cos((3x+1)^4) - (2x)' \cos((2x)^4) = 3 \cos((3x+1)^4)-2\cos(16 x^4)\)