Multiplicidade e fatorizacao de polinomios do 3º grau

[fhavio]

Preciso que me ajudem numa questao que nao sei o que fazer, é a primeira vez que me deparo com um exercicio que me pede isto e tambem estou com dificuldades em fatorizar os polinômios de 3º grau.

"Averigue a multiplicidade da raíz -2 em cada um dos seguintes polinómios e, em seguida, decomponha-os em fatores"

a) \(x^3+5x^2+8x+4\)
b) \(x^4+2x^3-3x^2-4x+4\)

[flaviosouza37]

Por exemplo no primeiro divida o polinomio por x+2.

vc encontrar como resultado da divisão \(x^2+3x+2\) encontre as raizes dessa equação, ou se preferir pode fatora-la tbm, fatorando essa equação do segundo grau vc encontra \((x+1)(x+2)\) ou seja \(x^3+5x^2+8x+4=(x+2)(x+1)(x+2)\) portanto a raiz -2 tem multiplicidade 2.


No segundo vc pode seguir o mesmo raciocinio.

[fhavio]

A primeira parte segui o seu raciocinio e percebi perfeitamente, agora tentei no 2º mas nao consegui.

Dividi a equacao 2 vezes por \(x+2\) para chegar a um polinomio de 2º grau \(x^2-2x+1\)

Depois ao tentar achar as raizes desse polinómio só encontro 1 mas preciso de 4 raizes visto que o polinómio é de 4º grau.

Penso que como o polinómio foi divido 2 vezes por \(x+2\) posso assumir que a raiz -2 é no minimo raiz dupla correto?

[flaviosouza37]

vc divide o polinomio do quarto grau por x+2, o resultado é \(x^3-3x+2\) esse polinomio tbm tem raiz -2, dividindo ele por x+2 vc obtem \(x^2-2x+1\)

o resultado fica \((x+2)^2(x-1)^2\)

[fhavio]

Eu já tinha chegado a esse resultado por intuição mas tenho uma questão. Ao calcular o \(\Delta = x2-2x+1\) que irá dar \(\Delta = 0\) não deveria de ser só uma raiz?
Ou assumimos o resultado da equação \(a=-b/2a\) neste caso 1, resulta em 2 raizes como sendo {1;-1}, sempre pensei que ao aplicar esta função resultava somente uma raiz?

Ou seja as raizes sao {-2;-2;-1;1} correto?

[flaviosouza37]

quando o delta é igual a zero a equação tem duas raizes repetidas, se vc assumir q as raizes são 1 e -1 isso da origem a equação \(x^2-1=0\). que é diferente da equação que partimos.

[fhavio]

Entao as raizes desta equação sao {-2;-2;1;1} correto?

[flaviosouza37]

isso.

[fhavio]

Outra questao visto que tocamos no assunto dos polinómios de 3º grau.

Se eu quisesse colocar esta equação na forma fatorizada como faria?
\(x^3-x^2/2-9x+9/2\)

visto que nao tenho raizes usei o termo independente para conseguir encontrar uma raiz o unico resultado que pertence Z foi \(9/2/9/2 = 1\) ou seja calculei A(1) e A (-1) mas nenhum deles deu 0 como é que encontro a raiz nesta situação?

Já apliquei esta solução em varios polinómios e sempre deu menos este.

[flaviosouza37]

aplique o mmc e vc obtera \(2x^3-x^2-18x+9\)

os divisores de 9 são 1,-1,3,-3,9,-9

vc vera que 3 e -3 são raizes, veja esse video para entender melhor. http://www.youtube.com/watch?v=KQ4Nx58MzUM