Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde, não consigo calcular estes limites:
\(\lim_{x \to +\infty }\frac{ln(2e^{2x}+e^{x}-3)}{x}\)
R:2
\(\lim_{x \to +\infty }(ln(2e^{2x}+e^{x}-3)-2x)\)
R:ln2

No primeiro usando a regra de Cauchy fica

\(\lim_{x \to +\infty }\frac{ln(2e^{2x}+e^{x}-3)}{x}=\frac{\infty}{\infty}\)

\(\lim_{x \to +\infty }\frac{ln(2e^{2x}+e^{x}-3)}{x}=\lim_{x \to +\infty }\frac{(ln(2e^{2x}+e^{x}-3))'}{x'}=\lim_{x \to +\infty }\frac{4e^{2x}+e^x}{2e^{2x}+e^{x}-3}=\)

dividindo tudo por \(e^{2x}\)

\(=\lim_{x \to +\infty }\frac{4+e^{-x}}{2+e^{-x}-3e^{-2x}}=\frac{4+0}{2+0-3.0}=2\)

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Não posso utilizar essa regra, tem de ser pelos limites notáveis.

Tem respostas quase iguais aqui

viewtopic.php?f=7&t=5021&p=13920
viewtopic.php?f=7&t=5018&p=13876

experimenta fazer uma substituição \(e^x=y\) não sei, talvez dê

\(\lim_{x \to +\infty }\frac{ln(2e^{2x}+e^{x}-3)}{x}=\lim_{y \to +\infty }\frac{ln(2y^2+y-3)}{ln(y)}\)

ora \(2y^2+y-3=(y-1)(2y+3)\)

então

\(\lim_{y \to +\infty }\frac{ln((y-1)(2y+3))}{ln(y)}=\lim_{y \to +\infty }\frac{ln(y-1)+ln(2y+3)}{ln(y)}=\)

consegue avançar?

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Não consigo

Consegue achar esta parte do limite?

\(\lim_{y \to +\infty }\frac{ln(y-1)}{ln(y)}\)

repare que

fazendo agora outra substituição \(y=1/x\) fica com

\(\lim_{x \to 0 }\frac{ln(1/x-1)}{ln(1/x)}\)

lembre-se que \(ln(a/b)=ln(a)-ln(b)\) e que \(ln(1)=0\)

\(\lim_{x \to 0 }\frac{ln((1-x)/x)}{ln(1/x)}=\lim_{x \to 0 }\frac{ln(1-x)-ln(x)}{ln(1)-ln(x)}=\lim_{x \to 0 }\frac{ln(1-x)-ln(x)}{-ln(x)}=\lim_{x \to 0 }\frac{-ln(1-x)}{ln(x)}+1=\lim_{x \to 0 }\frac{-ln(1-x).x}{x.ln(x)}+1=\lim_{x \to 0 }\frac{-ln(1-x)}{x}\times \lim_{x \to 0 }\frac{x}{ln(x)}+1=...\)

consegue avançar? está mm quase se considerar os limites notáveis do logaritmo
http://www.matematica.com.pt/file.axd?f ... taveis.pdf

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Continuando:
\(\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x)}{x}*\frac{x}{ln(x)}+1\)
\(=1*\lim_{x \to 0}\frac{x}{ln(x)}+1\)
Como é que eu resolvo o \(\lim_{x \to 0}\frac{x}{ln(x)}\)?
E em relação ao \(\lim_{y \to +\infty }\frac{2y+3}{y}\)? Também faço a mesma substituição de variável?

este limite é notável

\(\lim_{x \to 0}\frac{x}{ln(x)}=\frac{0}{-\infty}=0\)

E em relação ao \(\lim_{y \to +\infty }\frac{2y+3}{y}\) sim faz exatamente a mesma coisa

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Deixo aqui minha outra forma de resolução:

substituição \(u=e^{x} \; \rightarrow \; x=\ln(u) \; , \; x \to +\infty \;, u\to +\infty\)


\(\lim_{u \to +\infty }\frac{\ln(2u^2+u-3)}{\ln(u)}\)


\(\lim_{u \to +\infty }\frac{\ln(u^2(2+\frac{1}{u}-\frac{3}{u^{2}}))}{\ln(u)}\)


\(\lim_{u \to +\infty }\frac{\ln(u^2)+\ln(2+\frac{1}{u}-\frac{3}{u^{2}})}{\ln(u)}\)



\(\lim_{u \to +\infty }\frac{\ln(u^2)}{\ln(u)}+\lim_{u \to +\infty } \frac{\ln(2+\frac{1}{u}-\frac{3}{u^{2}})}{\ln(u)}\)


\(\lim_{u \to +\infty }2*\frac{\ln(u)}{\ln(u)}+\lim_{u \to +\infty } \frac{\ln(2+\frac{1}{u}-\frac{3}{u^{2}})}{\ln(u)}\)


\(2+ \frac{\ln(2+\frac{1}{+\infty}-\frac{3}{(+\infty)^{2}})}{+\infty}\)


\(2+ \frac{\ln(2)}{+\infty}\)


\(\fbox{\fbox{2}}\)

Caro amigo, realmente bem mais simples

mais uma vez, muito obrigados

um abraço

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