Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

(UF.GO) O valor da soma \(\frac{2}{3} + \frac{2}{9} + \frac{2}{27}+...+\frac{2}{3^{n}}\) é:

Gabarito: \({1-3^{-n}}\)


Preciso de ajuda, não sei como se resolve esta PG, não sei calcular esse expoente n!

Obrigada a todos!

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"Quem ensina aprende ao ensinar e quem aprende ensina ao aprender."
(Paulo Freire)

Trata-se da soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica de razão 1/3.

\(2 \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{3}\right)^i = 2 \times \frac 13 \times \frac{1-(1/3)^n}{1-1/3} = 1-3^{-n}\)

Então Solobev, o que eu não consigo encontrar é esse expoente (-n) negativo!
Sinceramente não sei como chegar neste resultado!

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"Quem ensina aprende ao ensinar e quem aprende ensina ao aprender."
(Paulo Freire)

Repare que

\((1/3)^n =\frac{1}{3^n} = 3^{-n}\)

então

\(\frac{2}{3} \times \frac{1-(1/3)^n}{1-1/3} = \frac{2}{3} \times \frac{1-3^{-n}}{2/3} = 1-3^{-n}.\)