Matrizes e sistemas lineares

[Kingflare]

Olá galera, sou novo aqui no fórum e gostaria de pedir ajuda de vocês com algumas questões de álgebra linear, ok ?

Segue: Considere o sistema linear Ax=b. Em que condições de b1,b2,b3( se houver) o sistema tem solução ?

\(\begin{bmatrix} 1 & 2 &-2\\ 2 & 5 &-4 \\ 4 & 9 &-8 \end{bmatrix}\) , \(b= \begin{pmatrix} b1 & b2 & b3 \end{pmatrix}\)

Agradeço quem puder ajudar!

[Sobolev]

A melhor forma de responder à questão é condensar o sistema aumentado...
\(\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & -2 & b_1\\ 2 & 5 &-4& b_2\\ 4 & 9 & -8 &b_3 \end{array} \right) \to \left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & -2 & b_1\\ 0 & 1 &0& b_2-2b_1\\0 & 1 & 0 &b_3-4b_1 \end{array} \right) \to \left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & -2 & b_1\\ 0 & 1 &0& b_2-2b_1\\0 & 0 & 0 &2b_1 + b_2 - b_3 \end{array} \right)\)

O sistema tem solução se e só se a característica (rank) da matriz aumentada for igual à da matriz de sistema, i.e. se \(2b_1+b_2-b_3=0\). De outro modo, a última equação no sistema condensado (que é equivalente ao inicial) seria impossível.

[Kingflare]

Po cara, muito obrigado pela ajuda, deixa eu fazer uma pergunta, caso eu dissesse que Ax=b o sistema tem solução para todo A \(\neq\)0 estaria errado ?

[Sobolev]

Sim, estaria errado... Se o determinante de A fosse diferente de zero a solução, além de existir, seria única. Neste caso, como a matriz de sistema tem determinante nulo, o cálculo do determinante não permite decidir se o sistema tem ou não soluções, pelo que devemos mesmo condensar o sistema.