Equações do 2° grau

[jomatlove]

Olá!Por favor,peço ajuda para resolver a seguinte questão:

\(Se a e p são raízes da seguinte equação:x^{2}+k=4x;k\in R,calcular: \frac{a^{2}+p^{2}+2k}{2} Altrnativas:a)4 b)5 c)6 d)7 e)8

Desde de já ,agradeço!\)

[Sobolev]

Qual é a questão? Algo dever ter corrido mal ao digitar a fórmula...

[jomatlove]

Olá!Desculpe-me a falha.
A questão é a seguinte:
Se (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1=0 então,a diferença entre a maior e a menor solução real dessa equação é

a)1 b)raiz q de 2 c)raiz q de 3 d)2 e)raiz q de 5.


Ajuda!!!

[Sobolev]

As duas raízes reais da função p(x) em causa são também raízes da sua derivada. Resolvendo a equação p'(x) = 0 vemos imediatamente que essas raízes são \(\frac{1}{2} \left(5-\sqrt{5}\right)\) e \(\frac{1}{2} \left(5+\sqrt{5}\right)\), pelo que a sua diferença é \(\sqrt{5}.\)

[jomatlove]

Valeu!Ficou fácil aplicando às derivadas;entendi!
Mas,gostaria de saber se possível resolver a questão sem o uso das derivadas?A questão é de um livro do ensino médio.

Grato!

[Rui Carpentier]

As duas raízes reais da função p(x) em causa são também raízes da sua derivada.

Caro Sobolev, viu isso sem determinar as raízes? Se sim, fico curioso em conhecer o método utilizado.

Mas,gostaria de saber se possível resolver a questão sem o uso das derivadas?

Caro jomatlove, tente usar a mudança de variável \(y=x-\frac{5}{2}\).

[Sobolev]

Caro Rui,

Limitei-me a desenhar o gráfico da função e a confirmar algébricamente o resultado indiciado por este...

Abraço.