Integral definida com função exponencial

[João P. Ferreira]

Bom dia,

Poderiam me ajudar na integral definida:

\(\int_{0,2}^{0,4}e^{-x^2}dx\)

Muito obrigado.

Editado pela última vez por João P. Ferreira em 31 mar 2014, 21:07, num total de 1 vez.
Razão: arrumar LaTex

[Sobolev]

Não dá para calcular de forma exacta (em termos das funções habitualmente usadas). Será que quer apenas uma aproximação numérica?

[engenharia]

Sim, eu fiz uma parte mas da erro e não consegui chegar nem a um valor aproximado. Se puder me ajudar com o passo a passo já ajudaria muito.

Obrigado.

[Sobolev]

E qual o método numérico que pretende utilizar? O mais simples de implementar seria o método dos trapézios (composto). Qual o nível de precisão que pretende?

[engenharia]

Nessa integral eu não consegui desenvolver muita coisa, mas uma precisão de 3 casas decimais estaria ótimo. E o método mais simples ta excelente tbm rs.

Obrigado

[Sobolev]

Para aplicar o método dos Trapézios deve considerar um conjunto de pontos igualmente espaçados no intervalo de integração, neste caso

\(a = x_0, x_1, \cdots , x_n = b\)

Deste modo terá \(x_i = a + i h, \quad h=\frac{b-a}{n}\) o método dos trapézios composto consiste na aproximação

\(\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left( f(x_0)+f(x_n) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right)\)

Para além disso tem a seguinte estimativa de erro:

\(|E_n| \leq \frac{(b-a) h^2}{12} \sup_{]a,b[} |f''|\)

Considerando a estimativa de erro para este caso específico,

\(|E_n| \leq 0.5\times 10^{-4} \Leftarrow\frac{(b-a) h^2}{12} \sup_{]a,b[} |f''| \leq 0.5\times10^{-4}\Leftrightarrow \frac{(0.4-0.2) h^2}{12} 1.76785 <0.5\times 10^{-4}
h \leq 0.0411943\)

Assim, se quiser ter garantidamente 3 casas decimais de precisão deve aplicar a fórmula com n = 5.

[engenharia]

Eu uso essa estimativa de erro multiplicando a integral de e^-x^2?

[Sobolev]

A estimativa de erro apenas serve para saber quantas subdivisões do intervalo de integração devem ser consideradas na aplicação da regra do trapézios. Neste caso é n=5... Depois é só aplicar a fórmula dos trapézios (com n=5).

[engenharia]

Não compreendi como aplicaria essa formula na integral?

[Sobolev]

Então, tem que dividir o intervalo [0.2; 0.4] em cinco sub-intervalos. Considera pois a partição constituída pelos intervalos de extremos

\(x_0 = 0.2, \quad x_1=0.24, \quad x_2 = 0.28, \quad x_3=0.32, \quad x_4=0.36, \quad x_5=0.4\)

A fórmula fica

\(\int_{0.2}^{0.4}e^{-x^2}\,dx \approx \frac{0.04}{2}(f(0.2)+2f(0.24)+2f(0.28)+2f(0.32)+2f(0.36)+f(0.4))=0.182248\)

Como só temos a certeza das primeiras três casas decimais, pode deixar como 0.182.