Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Estou com muita dúvida com relação ao seguinte problema:

O número de raízes reais da equação \((\frac{x-1}{x+1})^{2} - (\frac{x+2}{x-2})^{2} =0\)
É a)0 b)1 c)2 d)3

No gabarito, a resposta é a letra c. Mas só consigo achar uma raiz real, que é 0.Alguém pode me ajudar a achar a outra raiz real? A questão não é difícil, acho que estou usando a abordagem errada; mas até agora não consegui descobrir o método correto.
Valeu!!!

A equação é equivalente a

\(\frac{x-1}{x+1} = \frac{x+2}{x-2} \vee \frac{x-1}{x+1} = -\frac{x+2}{x-2} \Leftrightarrow
\frac{(x-1)(x-2)-(x+2)(x+1)}{(x+1)(x-2)} = 0 \vee \frac{(x-1)(x-2)+(x+2)(x+1)}{(x+1)(x-2)} = 0 \Leftrightarrow
x = 0 \vee x = \pm i \sqrt{2}\)

Assim, se considerarmos apenas raízes reais, devemos concluir que apenas existe uma raiz.

Olá, caro Sobolev!
A raiz 0 convém, mas a raiz -2 não satisfaz a equação original. Veja:

Para x=-2 \(\rightarrow (\frac{-2-1}{-2+1})^{2}-(\frac{-2+2}{-2-2})^{2}=0\rightarrow (\frac{-3}{-1})^{2}-(\frac{0}{-4})^{2}=0\rightarrow 9-0=0\)

Será que a raiz zero é a única raiz real , ou haverá outra? Então, peço a colaboração dos colegas para sanar essa dúvida.

Foi um pequeno erro de contas que vou corrigir no post original. Um termo (x+2) deveria ser (x-2).