Camilapfr Escreveu:
Boa tarde.
Não consigo resolver essa questão de limite.
Alguém poderia me ajudar?
\(\lim_{x \to {2} } \frac{\sqrt{1 - Cos[2(x-2)]}}{x-2}\)
Muito obrigada!
Olá ,comece fazendo \(u=x-2 \;\; \;\; \;\; x \to 2 \;\; u \to 0\) :
\(\lim_{ u \to 0 } \; \frac{\sqrt{1-cos(2u)}}{u}\)
\(\lim_{ u \to 0 } \; \frac{\sqrt{1-(cos^{2}(u)-sen^{2}(u))}}{u}\)
\(\lim_{ u \to 0 } \; \frac{\sqrt{1-cos^{2}(u)+sen^{2}(u))}}{u}\)
\(\lim_{ u \to 0 } \; \frac{\sqrt{sen^{2}(u)+sen^{2}(u))}}{u}\)
\(\lim_{ u \to 0 } \; \frac{\sqrt{2sen^{2}(u))}}{u}\)
\(\sqrt{2}*\lim_{ u \to 0 } \; \frac{|sen(u)|}{u}\)
definição de módulo : \(|senx|=\left{ \;\; senx \;\; , \;\; \text{se } \;\; senx \geq 0 \;\; \Leftrightarrow \;\; x \geq \pi \\\\\\ \;\; -senx \;\; , \;\; \text{se } \;\; senx < 0 \;\; \Leftrightarrow \;\; x <\pi\)
então ficamos com os limites laterais :
\(\sqrt{2}*\lim_{ u \to 0^{+} } \; \frac{sen(u)}{u}=\sqrt 2\)
\(\sqrt{2}*\lim_{ u \to 0^{-} } \; \frac{-sen(u)}{u}=-\sqrt 2\)
decorre que o limite não existe.
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