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Na figura abaixo as três circunferências, que se tangenciam duas a duas, tocam as retas r e s:

Se o raio da maior das três circunferências mede 4cm, determine a distância do ponto A ao ponto mais afastado da última circunferência.

Pode proceder de modo completamente analítico. Coloquemos a origem do referencial no ponto A e designemos por x_1 a distancia do ponto A ao centro da maior circunferência. Deste modo a equação dessa circunferência será \((x-x_1)^2+y^2 =16\). Sabemos também que essa circunferência é tangente à recta r, de equação \(y=-\frac{\sqrt{3}}{3} x\), pelo que a equação \((x-x_1)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{3}x)^2 = 16\) deve ter apenas uma solução. Obrigando o discriminante dessa equação quadrática a ser nulo (para existir apenas uma solução) conclui-se que \(x_1=-8\). Deste modo já se encontra completamente dterminada a maior circunferência: centro em (-8,0) e raio 4.

Passemos agora à segunda circunferência. Sabemos que a sua equação é da forma \((x-x_2)^2+y^2 = r_2^2\) e que intersecta o eixo dos xx no ponto -4. Para o ponto (-4,0) pertencer à circunferência devmos ter \((x_2+4)^2 = r_2^2\). Por outro lado, os pontos de intersecção com a recta r verificam

\((x-x_2)^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{3} x)^2 = (x_2+4)^2\)

Novamente, calculando x_2 de modo à equação apenas ter uma solução, obtemos \(x_2 =-8/3\) e portanto \(r_2 = 4/3\). fica assim determinada a segunda circunferência: centro em (-8/3 , 0) e raio 4/3.

Para a última circunferência procedemos como para a segunda. Sabemos que a sua equação é \((x-x_3)^2+y^2 = r_3^2\) e que, passando no ponto (-4/3,0) se tem \((4/3 + x_3)^2 =r_3^2\). Os seus pontos de intersecção com a recta r verificam

\((x-x_3)^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{3} x)^2 = (x_3+4/3)^2\)

Exigindo que exista apenas um ponto de intersecção obtemos \(x_3=.-8/9\) e \(r_3= 4/9\), pelo que a última fica também determinada, tendo centro em (-8/9,0) e raio 4/9.

Tendo os raios e cengtros de todas as circunferências já pode responder facilmente à questão...

Bom dia,

Como o colega Sobolev fez uma abordagem analítica, vou ajudar com uma abordagem geométrica/trigonométrica.

Pelas características do desenho, o ponto mais distante do ponto A e que pertence à circunferência maior (a última, assim entendi) está sobre a reta bissetriz do ângulo de 60 graus dado. Essa bissetriz passa pelos centros das três circunferências até interceptar a maior no seu ponto mais distante do ponto A (pode-se provar esse resultado).

Se você marcar um ponto B, por exemplo, numa das tangentes à circunferência maior você terá um triângulo retângulo, cujo raio ligando o centro dessa circunferência maior ao ponto de tangência, que mede 4, é o cateto oposto ao ângulo de 30 graus (metade por causa da bissetriz). A hipotenusa desse triângulo vai de O até A e mede:

\(sen(30^o) = \frac{1}{2} = \frac{\text{RaioMaior}}{Hipotenusa}=\frac{\text{4}}{Hipotenusa} \therefore {Hipotenusa}=8\)

O ponto mais distante mede a hipotenusa mais um raio, isto é: \(8 + 4 = 12\).

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Fraol
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Quando li o enunciado percebi que a distancia pretendida era a do ponto A até ao ponto mais à direita na circunferência mais pequena... Talvez fosse melhor que o autor do post original clarificasse qual a distância que pretende calcular. Se for como interpretado pelo colega Fraol, a minha resolução deve terminar quando se determina o centro da maior circunferência, embora nesse caso as circunferências menores se tornam irrelevantes...

Caro coleiro.deminas, diga se sua justiça qual a distância que pretende determinar!