Método Minimos Quadrados

[engenharia]

Boa noite, gostaria da ajuda de vocês para solucionar um problema?

Preciso achar o polinomio de 2º grau para a seguinte tabela, via mínimos quadrados.

x 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81

y 2,5 1,2 1,12 2,25 4,28

Já achei os valores: 7,72,2,81 e 0,91, porém gostaria de confirmar se estou fazendo certo.

Obrigado.

[Sobolev]

Não sei que números são esses que referiu no final, mas a aproximação de mínimos quadrados dos dados no espaço os polinómios de graus menor oun igual a 2 é dada por

\(1.00234 t^2-4.01426 t+5.02215\).

[engenharia]

Fiz pelo método de multiplicação das Matrizes.

Xt x X = Xt x Y

Nesse caso não seria desse jeito?

Obrigado.

[Sobolev]

Desconheço o método que refere... O método dos mínimos quadrados consiste em determinar o minimizante global das somas quadráticas das diferenças entre os dados e a função aproximadora. É um problema de minimização de uma função convexa em \(\mathbb{R}^n\) e o método que conheço consiste simplesmente em resolver um sistema linear para determinar o único ponto crítico dessa função, que vai ser o minimizante global. No caso da aproximação por polinómios de grau menor ou igual que dois é um simples sistema 3x3 que leva à determinação dos coeficientes do polinómio aproximado. Concretamente no caso de dados \((x_i,y_i), i = 1, \cdots m\) o sistema a resolver é

\(\left(\begin{array}{ccc}
m & \sum x_i & \sum x_i^2\\
\sum x_i & \sum x_i^2 & \sum x_i^3\\
\sum x_i^2 & \sum x_i^3 & \sum x_i^4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a\\ b\\ b\end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} \sum y_i \\ \sum x_i y_i \\ \sum x_i^2 y_i\end{array}\right)\)

Sendo o polinómio aproximado dado por \(a + b x + c x^2\).

[engenharia]

Então, não seria a multiplicação da (Matriz Transposta X vezes a Matriz X)^-1, o resultado desse valor multiplicar pela Matriz Transposta X e por final multiplico esse resultado de (Xt x X)^-1 x Xt pela Matriz Y, ai encontro os valores de a0, a1 e a2?

Obrigado pela ajuda.

[Sobolev]

O modo concreto que escolha para resolver o sistema é irrelevante. A solução do sistema corresponde aos coeficientes do polinómio de grau 2. Neste caso o sistema é

\(\left(
\begin{array}{ccc}
5 & 11.61 & 32.7681 \\
11.61 & 32.7681 & 102.762 \\
32.7681 & 102.762 & 341.75 \\
\end{array}
\right) \left(\begin{array}{c} a\\b\\c \end{array}\right) = \left(
\begin{array}{c}
11.35 \\
29.7696 \\
94.6053 \\
\end{array}
\right)\)

Cuja solução é (a,b,c) = (5.02215, -4.01426, 1.00234).

[engenharia]

Entendi, mas como vc chega nesses resultados?

Você eleva a primeira matriz à -1? Pois cheguei nesses mesmos valores, mas elevando a -1 meu resultado é a0 7,72 a1 2,81 e a2 0,91.

Obrigado.

[Sobolev]

\(\left(
\begin{array}{ccc}
5 & 11.61 & 32.7681 \\
11.61 & 32.7681 & 102.762 \\
32.7681 & 102.762 & 341.75 \\
\end{array}
\right) \left(\begin{array}{c} a\\b\\c \end{array}\right) = \left(
\begin{array}{c}
11.35 \\
29.7696 \\
94.6053 \\
\end{array}
\right) \Leftrightarrow
\left(\begin{array}{c} a\\b\\c \end{array}\right) = \left(
\begin{array}{ccc}
5 & 11.61 & 32.7681 \\
11.61 & 32.7681 & 102.762 \\
32.7681 & 102.762 & 341.75 \\
\end{array}
\right)^{-1} \left(
\begin{array}{c}
11.35 \\
29.7696 \\
94.6053 \\
\end{array}
\right)\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{c} a\\b\\c \end{array}\right) = \left(
\begin{array}{ccc}
4.85041 & -4.56058 & 0.906258 \\
-4.56058 & 4.82325 & -1.01303 \\
0.906258 & -1.01303 & 0.220641 \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
11.35 \\
29.7696 \\
94.6053 \\
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{c}
5.02215 \\
-4.01426 \\
1.00234 \\
\end{array}
\right)\)

[engenharia]

Ah perfeito, estava multiplicando errado, agora meus valores batem. Muito obrigado pela ajuda.

Para uma y= a0x ^ a1, o procedimento é parecido?