Encontrar A e B de uma função do segundo grau

[nandomartinsq]

Ola, essa questão foi uma das questões que segundo o professor disse, uma questão para ninguem tirar 10 e realmente, ninguem tirou.
Ainda estamos tentando resolver e gostaria saber se alguem poderia ajudar a resolver e explicar. Obrigado.

O gasto com a folha de pagamentos de uma empresa foi modelado como F(x)=ax²+bx+5.500 para produzir x unidades de um determinado produto. Se o gasto mínimo com a folha ocorre para um nível de produção de x=100 unidades, então os valores de a e b são, respectivamente, iguais a?

Sei que a formula do delta é b² -4ac
Para encontrar o vertice x, é -b/2a e o y seria -delta/4a

[Sobolev]

Se o mínimo ocorre no ponto x=100 fica a saber que \(a\ge 0\) (caso contrário não existiria mínimo) e que F'(100)=0. Relativamente à segunda condição,

\(F'(100)=0 \Leftrightarrow 2\cdot a \cdot 100 +b = 0 \Leftrightarrow b=-200 a\)

pelo que teremos \(F(x) = a x^2 - 200 a x +5500\)

Além disto, se o modelo for razoável, o valor mínimo não deve ser negativo, pelo que

\(F(100)\ge 0 \Leftrightarrow 10000 a - 20000 a + 5500 \ge 0 \Leftrightarrow a \ge 0.55\).

Usando apenas as condições descritas, isto é garantidamente o melhor que se pode dizer... Tomando \(a \ge 0.55\) e \(b=-200a\) temos sempre uma situação como a descrita no e enunciado.

[nandomartinsq]

O gasto com a folha de pagamentos de uma empresa foi
modelada como F(x) = ax² + bx + 5500 para produzir x
unidades de um determinado produto.

Se o gasto mínimo com a folha ocorre para um nível de
produção de x = 100 unidades, então os valores de a e b são,
respectivamente, iguais a:
(A) 1 e 200.
(B) 2 e -200.
(C) 2 e -400.
(D) 2 e 400.
(E) 2 e 200.

Eu não tenho o gabarito e o professor ainda ta fazendo suspense para passar a resposta e como se resolve ;x

[Sobolev]

Como vimos que

b = -200 a

A única solução possível de entre as apresentadas é a (C), em que a = 2 e b = -400.

[nandomartinsq]

Ah, entendi! Obrigado!