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A fração \(\frac{37}{13}\) pode ser escrita na forma 2 + \(\frac{1}{x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}\) onde x,y e z são inteiros positivos.

O valor da soma x^2 + y^2 + z^2 tem como resultado ,um número que:


R:possui 8 divisores naturais

Olá pinkman,
boa tarde!
Ótima questão!

Ao efectuar a divisão 37/13, note que a parte inteira (divisor) vale 2, assim como na fracção; enfim, a parte inteira é sempre a maior, daí,

\(\frac{37}{13} =\)

\(\frac{26}{13} + \frac{11}{13} =\)

\(2 + 1 \cdot \frac{11}{13} =\)

\(2 + 1 \div \frac{13}{11} =\)

\(2 + \frac{1}{\frac{13}{11}} =\)

\(2 + \frac{1}{\frac{11}{11} + \frac{2}{11}} =\)

\(2 + \frac{1}{1 + 1 \cdot \frac{2}{11}} =\)

\(2 + \frac{1}{1 + 1 \div \frac{11}{2}} =\)

\(2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{11}{2}}} =\)

\(2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{10}{2} + \frac{1}{2}}} =\)

\(\fbox{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{5 + \frac{1}{2}}}}\)

Portanto, \(\fbox{x = 1}\), \(\fbox{y = 5}\) e \(\fbox{z = 2}\).

Com efeito,

\(\\ x^2 + y^2 + z^2 = {1} + {25} + {4} \\\\ x^2 + y^2 + z^2 = {30} \\\\ x^2 + y^2 + z^2 = {2} \cdot {3} \cdot {5} \\\\ x^2 + y^2 + z^2 = {2}^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1\)

Obtemos a quantidade de divisores somando 1 a cada expoente (de cada base) e multiplicando-os.

Por fim,

\(\\ (1 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 1) = \\\\ 2 \cdot 2 \cdot 2 = \\\\ \fbox{\fbox{8}}\)

_________________
Daniel Ferreira
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