Problema com uma demonstração de limite. Função sempre positiva.

[isabeladcm]

Suponha que Lim f(x) =L com L>0 , prove que existe (delta)>0 tq
.................... x->p
∀x ∊ Df, p-(delta)<x<p+(delta), x≠p => f(x)>0

[Walter R]

O fato é decorrente do seguinte teorema:

"Sejam \(X\subset \mathbb{R}\), \(a\in X'\), \(f,g:X\rightarrow \mathbb{R}.\) Se \(\lim_{x\rightarrow a} g(x)=L\) e \(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=M\), com \(L<M\), então existe \(\delta>0\) tal que \(x\in X, 0<|x-a|<\delta \Rightarrow g(x)<f(x)\)" (posso provar, se quiseres). A sua afirmação prova-se simplesmente assumindo \(g(x)=0\), no teorema acima.

[isabeladcm]

Entendi perfeitamente. Se tiver como provar o teorema eu agradeço.

[Walter R]

Tome-se \(\varepsilon=\frac{M-L}{2}\). Então vale que \(L+\varepsilon=\frac{L+M}{2}=M-\varepsilon\). Por hipótese do enunciado, \(\exists \delta>0\) tal que \(x \in X, 0<|x-a|<\delta\Rightarrow g(x)\in (L-\varepsilon,L+\varepsilon)\) e \(f(x)\in(M-\varepsilon,M+\varepsilon)\). Logo, \(g(x)<\frac{L+M}{2}<f(x)\), o que prova o teorema.