Ajuda para calcular limite

[Taibic]

Alguém pode me ajudar a resolver esse limite de forma clara? já tentei de tudo o que tenho conhecimento mas não consigo.

Lim (x+2 / x-2)
x→2+

[Walter R]

\(\lim_{x\rightarrow 2^+} \frac{x+2}{x-2}=+ \infty\), pois o numerador tende a um número positivo (+4) e o denominador tende a zero também por valores positivos.

[Taibic]

A resposta eu já sabia intuitivamente, queria saber como chegar nela de forma que eu possa trabalhar com a expressão para obter alguma outra mais simples, uma maneira que eu possa colocar na prova caso caia entende? me desculpe se expressei errado na pergunta.

[Walter R]

Deixe-me ver se entendi tua dúvida. Queres uma prova formal de que o limite é infinito?

[Taibic]

Isso, queria chegar numa expressão mais simples dessa que coloquei (se ela existir) e conseguir provar que o resultado é \(+\infty\)

Como por exemplo: Se eu abrir o produto notável desse limite e cancelar com a expressão de baixo eu tenho x+1 = 2
\(\lim_{x \mapsto 1 }\frac{x^{2}+1}{x-1}\)

[Walter R]

Não. Neste caso não há esta possibilidade. Uma prova formal do limite consiste em provar que, dado \(\varepsilon>0\), existe \(\delta>0\) tal que \(x\in X',0<x-2<\delta\Rightarrow \frac{x+2}{x-2}>\varepsilon\).

Repare que \(x+2>4\), pois \(x\) tende a \(2\) pela direita.

Por outro lado, \(x-2<\delta\Rightarrow \frac{1}{x-2}>\frac{1}{\delta}\).

Então, \(\frac{x+2}{x-2}>\frac{4}{x-2}>\frac{4}{\delta}=\varepsilon\).

Assim, fazendo \(\delta=\frac{4}{\varepsilon}\), temos que

\(x\in X',0<x-2<\frac{4}{\varepsilon}\Rightarrow \frac{x+2}{x-2}>\varepsilon\)

Ou seja, dado um epsilon qualquer, encontramos um delta que satistaz. Isto prova o limite.