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A solução da equação:
\(49^x - 5 \times 14^x - 7 \times 4^x = 0\)

A)Ímpar
B)Primo
C)Fracionário
D)Negativo
E)Irracional

( x=1, logo o gabarito é A. Mas eu queria a resolução, se possível)

Boa noite.
Para a equação da figura, o valor 1, ímpar, é solução.

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Fraol
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A solução da equação:
\(2 \times 49^x - 5 \times 14^x - 7\times 4^x=0\)
é um número:
A)Ímpar
B)Primo
C)Fracionário
D)Negativo
E)Irracional

R: Bem,
\(2 \times 49^x - 5 \times 14^x - 7\times 4^x= 2 \times 7^{2x} - 5\times 2^x \times 7^x -7 \times 2^{2x}.\)
Ora podemos ver que o primeiro termo é 7^x ao quadrado, o último tem 2^x ao quadrado e o do meio o produto de ambos. Tudo nos aparece na forma dos tão conhecidos produtos notáveis. Se reparamos nos coeficientes, do primeiro termo 2, do último -7 e do do meio -5=2+(-7).
No entanto não era preciso enverdar por esta investigação de coeficientes; pelos sinais podemos tomar aquele produto da forma:
\((7^x + 2^x)(a\times 7^x -b \times 2^x)\), com um b>a.
Desta feita tentando simplesmente acertar nos coeficientes dos primeiro e terceiro termos chegaríamos a que a=2 e b=7. Assim, temos:
\(( 7^x + 2^x)(2\times 7^x -7 \times 2^x)=0\Rightarrow (7^x + 2^x=0) \vee (2 7^x -7 2^x=0)\)
\(\Rightarrow (7^x=-2^x) \vee (2\times 7^x=7 \times 2^x) \Rightarrow (7^x=-2^x) \vee (7^{x-1}=2^{x-1}).\)
Assim, é simples ver que a primeira equação não admite qualquer raiz real, enquanto que a segunda admite apenas uma, quando o expoente é tal que ambos os lados da equação fiquem reduzidos a zero: x=1 (que é um número ímpar!).

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Marco Tavares Pereira
Tudo é trivial, para alguém.
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