Fórum de Matemática
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Boa tarde,

Tenho uma dúvida que caso possível, gostaria que fosse sanada.

Tenho uma matriz \(i \times j\), onde \(i=j\), e eu necessito que o somatório da linha 1 seja igual ao somatório da coluna 1, o somatório da linha 2 seja igual ao somatório da coluna 2, e assim sucessivamente. No entanto minha matriz não está desse jeito, há algum processo iterativo para que possa transformá-la e deixá-la assim?

Grato,

pergunta algo complexa, vc tem uma matriz quadrada de lado \(i=j=n\)

\(A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\)

para o primeiro caso tem:

\(\sum_{i=1}^n a_{1i}=\sum_{i=1}^n a_{i1}\\ \\ \sum_{i=1}^n( a_{1i}-a_{i1})=0\)

para o caso geral fica com um sistema de equações

\(\left\{\begin{matrix} \sum_{i=1}^n( a_{1i}-a_{i1})=0\\ \sum_{i=1}^n( a_{2i}-a_{i2})=0\\ \ \\ ... \\ \ \\ \sum_{i=1}^n( a_{ni}-a_{in})=0 \end{matrix}\right.\)

sugiro-lhe que comece com matrizes pequenas, tipo 2x2 ou 3x3 para ver no que dá, assim de repente não estou a ver como resolver essa equação

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João Pimentel Ferreira
 
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refletindo um pouco mais, do sistema de equações tira que

\(\sum_{i=1}^n( a_{1i}-a_{i1})= \sum_{i=1}^n( a_{2i}-a_{i2})=0\)

\(\sum_{i=1}^n( a_{1i}-a_{2i}-a_{i1} +a_{i2})=0\)

também sabe que

\(\sum_{i=1}^n( a_{3i}-a_{i3})=0\)

logo

\(\sum_{i=1}^n( a_{1i}-a_{2i}-a_{3i} -a_{i1} +a_{i2}+a_{i3})\)

que por sua vez é igual a \(\sum_{i=1}^n( a_{ni}-a_{in})=0\)

generalizando

\(\sum_{i=1}^n( (a_{1i}-a_{2i}-a_{3i} ...... -a_{ni}) + (-a_{i1} +a_{i2} +a_{i3} +...+a_{in}))=0\)

\(\sum_{i=1}^n( a_{1i}-a_{2i}-a_{3i} ...... -a_{ni}) = \sum_{i=1}^n (a_{i1} -a_{i2}-a_{i3} ...-a_{in})\)

estou perdido...

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João Pimentel Ferreira
 
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Caro Marcus,

Pode ser um pouco mais claro na sua pergunta? Qual é o objectivo? É construir uma matriz que verifique essas condições? Se for assim basta escolher qualquer matriz simétrica.

Sobolev,

Eu trabalho na área de engenharia, eu preciso de montar uma matriz cuja soma da linha i a seja igual a soma da coluna i e para isso eu tenho uma matriz-base, que está "desbalanceada", em que essa sentença não é verdade, eu preciso de um processo iterativo que vá diminuindo o erro até o ajuste. Como você disse, é comum utilizar matrizes simétricas nesse caso, mas não é o mais adequado. De qualquer forma obrigado.

João P. Ferreira,

Realmente eu pensei nessa hipótese que você mostrou, e tentei até um código em vba para resolver, mas não consegui fazer.
De qualquer forma obrigado.

Caro Marcus

No seguimento da sugestão do caro amigo Sobolev, o considerando o seu problema, basta ir adaptando os valores da sua matriz através de métodos iterativos até se aproximarem de uma matriz simétrica, ou seja faça \(a_{ij}\) aproximar-se de \(a_{ji}\) e vice-versa, ou melhor faça ambos aproximarem-se da sua média.

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João Pimentel Ferreira
 
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Marcus,

O que é importante é saber qual o tipo de operações que está disposto a realizar sobre a matriz base. Se apenas está disposto e realizar trocas de linhas e colunas pode formular o problema do âmbito da programação linear.