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Devemos, de imediato, verificar se a fórmula vale para \(F_0\)
\(F_0=(4^0 + 1)=2\)
e
\(F_0=2\) por definição
O próximo passo é assumir que a fórmula valha para \(F_n\) e mostrar que em decorrência desta assunção valerá para \(F_{n+1}\).
\(F_n=4^{n}+1\)
Multiplicando dos dois lados por \(4\) temos
\(4F_n=4((4^n)+1)\)
\(4F_n=4^{n+1}+4\)
Subtraindo 3 dos dois lados temos
\(4F_n-3=4^{n+1}+4-3\)
\(4F_n-3=4^{n+1}+1\)
Veja só, pela nossa definição da Função temos \(F_n=4F_{n-1}-3\) portanto \(F_{n+1}=4F_{n}-3\) agora é só substituir
\(\underbrace{4F_n-3}_{F_{n+1}}=4^{n+1}+1\)
Portanto \(F_{n+1}=4^{n+1}+1\). Quod erat demonstrandum.
Atenciosamente,
Rilke
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