Otimização usando derivadas - calculo 1
25 mai 2014, 12:40
2) De um ponto A situado numa das margens de um rio, de 100m de largura, deve-se levar a energia elétrica no ponto C situado na outra margem do rio. O fio a ser utilizado na água custa 5 reais o metro, e o que será utilizado fora da água custa 3 reais o metro. Como deverá ser feita a ligação para que os gastos com os fios seja o menor possivel?
Re: Otimização usando derivadas - calculo 1
25 mai 2014, 16:25
Boa tarde,
Creio que falte algo no enunciado. Do jeito que tá posto seria ligar a parte sobre o rio em linha reta para se gastar o mínimo.
Você poderia, por favor, confirmar o enunciado ou completá-lo?
Creio que falte algo no enunciado. Do jeito que tá posto seria ligar a parte sobre o rio em linha reta para se gastar o mínimo.
Você poderia, por favor, confirmar o enunciado ou completá-lo?
Re: Otimização usando derivadas - calculo 1
26 mai 2014, 23:20
o enunciado não fala a posição do ponto C.
- Anexos
-
- rio.jpg (4.39 KiB) Visualizado 4034 vezes
Re: Otimização usando derivadas - calculo 1
27 mai 2014, 22:21
Boa noite leticialek96,
Para não ficar sem algum encaminhamento, vamos imaginar o seguinte:
Na margem oposta ao ponto A, numa linha de 90 graus com as margens supostamente parelas, temos um ponto A'.
Entre os pontos A' e C temos um ponto B em uma posição qualquer entre os dois.
Da mesma forma que A' temos um B' e C' na mesma margem que A.
Dessa forma temos que \((AB) = \sqrt{(AB')^2 + (BB')^2}= \sqrt{(AB')^2 + 10000}\).
O Custo, chamemos de V, é: \(V = 5 \cdot \sqrt{(AB')^2 + 10000} + 3 \cdot ( AC' - AB')\).
Olhando para esta expressão, você poderá ver porque eu creio que falte alguma informação para completar o problema. Nela o custo V é uma função de AB'. Além disso possui uma constante AC' que é a distância total em linha reta, paralela à margem, do ponto A até o ponto C'.
Se você tem essa distância, então pode derivar a expressão de V você obterá o seguinte:
\(V' = \frac{5AB'}{\sqrt{(AB')^2 + 10000}} - 3\)
Daí, basta igualar essa derivada a 0 para encontrar um ponto (crítico) que pode ser o de mínimo (para confirmar deveria derivar novamente e analisar o sinal dessa segunda derivada no ponto). Uma vez que você determina AB', sabendo AC' conseguirá concluir o exercício.
Para não ficar sem algum encaminhamento, vamos imaginar o seguinte:
Na margem oposta ao ponto A, numa linha de 90 graus com as margens supostamente parelas, temos um ponto A'.
Entre os pontos A' e C temos um ponto B em uma posição qualquer entre os dois.
Da mesma forma que A' temos um B' e C' na mesma margem que A.
Dessa forma temos que \((AB) = \sqrt{(AB')^2 + (BB')^2}= \sqrt{(AB')^2 + 10000}\).
O Custo, chamemos de V, é: \(V = 5 \cdot \sqrt{(AB')^2 + 10000} + 3 \cdot ( AC' - AB')\).
Olhando para esta expressão, você poderá ver porque eu creio que falte alguma informação para completar o problema. Nela o custo V é uma função de AB'. Além disso possui uma constante AC' que é a distância total em linha reta, paralela à margem, do ponto A até o ponto C'.
Se você tem essa distância, então pode derivar a expressão de V você obterá o seguinte:
\(V' = \frac{5AB'}{\sqrt{(AB')^2 + 10000}} - 3\)
Daí, basta igualar essa derivada a 0 para encontrar um ponto (crítico) que pode ser o de mínimo (para confirmar deveria derivar novamente e analisar o sinal dessa segunda derivada no ponto). Uma vez que você determina AB', sabendo AC' conseguirá concluir o exercício.