Calculo de Integral pela definição

[lucaseng]

\(\int_{1}^{4}\left (x ^{2} -2\right )\)


Calcular o valor dessa integral através da definição

[João P. Ferreira]

considerando que a primitiva de \(x^2-2\) é \(\frac{x^3}{3}-2x+C\) consegue avançar, usando o teorema fundamental do cálculo?

http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_fu ... .A7.C3.A3o

[Sobolev]

Penso que quando foi mencionado "pela definição" seria usando as somas de Riemann. Neste caso, a existência do integral está garantida pela continuidade da função integranda. Podemos escolher partições do intervalo constituídas por pontos igualmente espaçados \(P_n=\{\mathrm{1}= 1 + 0\cdot h, 1+h, 1+2h, \cdots ,1+nh =4\}\) em que h = 3/n e, em cada sub-intervalo, seleccionar o extremo inferior para realizar o cálculo dos valores da função. Desse modo teremos que calcular o limite

\(\lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} h ((1+ih)^2-2) = \lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{3}{n}(1+ 2i \frac{3}{n} + \frac{9 i^2}{n^2} -2)=
\lim_{n\to \infty} \left( -\frac{3}{n} \sum_{i=0}^{n-1} 1 + \frac{18}{n^2} \sum_{i=0}^{n-1} i + \frac{27}{n^3} \sum_{i=0}^{n-1} i^2\right) =
\lim_{n \to \infty} \left( -\frac{3}{n} \cdot n + \frac{18}{n^2} \frac{(n-1)n}{2} + \frac{27}{n^3} \frac{(n-1) n (2n-1)}{6}\right) = -3 + 9 +\frac{54}{6}=15\)

[Deleon Araújo]

Olá.
Primeiro passo é integrar a função, depois aplicar os intervalos, seguindo a ordem onde aplica-se o limite superior menos o inferior,
Ao fazer isso teremos: 15 ua (Unidades de área)

[Sobolev]

Caro Deleon,

Não devemos confundir a definição com um processo de cálculo. A aplicação da regra de Barrow não é em si a definição de integral. Apenas sucede que, caso uma função f seja primitivável ( e toda a função contínua é primitivável), o seu integral pode ser calculado pelo processo que descreve. A definição, no entanto, é a da igualdade do integral inferior e superior de Riemann (O supremo das somas inferiores deve ser igual ao ínfimo das somas superiores).