Função Inversa de uma função exponencial

[robz]

Galera estou com dificuldades de criar a inversa desta função:
f(x) = x + e^x
Estou com dificuldades no momento de aplicar Ln na função.
Cheguei a seguinte conclusão:
y = ln(x-y) [Não sei se poderia aplicar Ln dessa maneira.]

[Sobolev]

Esta pergunta corresponde a algum exercício? Se sim, poderia dizer o que é pedido concretamente? A questão aqui é que é fácil mostrar que a inversa existe, já que a função é injectiva ( f' >0), mas não é possível explicitar a sua expressão. No entanto, dependendo da pergunta concreta, dispor de uma definição implícita é suficiente.

[robz]

Segue Exercício.


Seja f(x) = x + e^x

(a) Mostre que f admite função inversa g.
(b) Prove que o domínio e a imagem de f são iguais ao conjunto R.
(c) Supondo que g é contínua, mostre que g é derivável e que g

[Sobolev]

a) Já comentei no post anterior. Como f'>0 concluimos que a função é injectiva e por isso admite inversa.

b) A função é contínua e tem domínio em R. Como além disso \(\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty\) e \(\lim_{x \to + \infty}f(x)=+\infty\) vemos que f pode tomar qualquer valor real, pelo que o conjunto imagem é também R.

c) Seja então g a inversa. Sabemos que x = g(y), logo,

\(y = x+e^x \Leftrightarrow
y = g(y)+e^{g(y)} \Rightarrow
1 = g'(y) + g'(y)e^{g(y)} \Leftrightarrow
g'(y) =\frac{1}{1+e^{g(y)}}\)

Assim, como g'(y) é definida à custa de g(y) constatamos rapidamente o resultado pretendido.

[robz]

Vlws Brother,

A minha A e B estão iguais, Mas essa C que realmente tinha pensar um pouco, e tu clareou meus raciocínios .rsrsrs

Brigadão.