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É possível definir a integral indefinida de uma função descontínua? Peço um exemplo, em caso positivo. Obrigado.

Bom dia,

Para definir a integral indefinida apenas é necessário que a função seja integrável, pelo que realmente não precisa de ser contínua. A título de exemplo considere a função \(f:[0,2] \to \mathbb{R}\) definida por

\(f(t)=\left\{\begin{array}{cc} e^t, & 0 \leq t \leq 1\\ t, & 1 < t \leq 2\end{array}\right.\)

Deste modo, se \(x \leq 1\) temos

\(\int_0^x f(t) dt = \int_0^x e^t dt = e^x -1\)

e para x>1 temos

\(\int_0^x f(t) dt = \int_0^1 f(t) dt + \int1^x f(t) dt = \int_0^1 e^t dt + \int_1^x t dt = (e-1) + (\frac{x^2}{2}-\frac 12) = \frac{x^2}{2}+e-\frac 32\)

Deste modo,

\(\int_0^x f(t) dt = \left\{\begin{array}{cc} e^x-1 & 0, \leq x \leq 1 \\ \frac{x^2}{2}+e-\frac 32, & 1 < x \leq 2 \end{arrat}\right.\)

Obs: Repare a integral indefinida é uma função contínua, apesar de a função f não o ser.

Obrigado pela resposta! Na verdade, estou preocupado com um problema mais complicado. Pensei em fazer esta pergunta porque imaginei que isso me ajudaria, mas, como não tenho como determinar os pontos de descontinuidade da função, não tenho como resolvê-lo por enquanto. Farei uma nova pergunta, desta vez sobre este problema que tanto tem me preocupado nos últimos dias. Dê uma olhada no fórum, que verá a minha nova pergunta!

um abraço