Vocês podem me auxiliar nestas perguntas de frações? Eu não consigo entender

[Jonna]

Primeiramente, sabemos que:
x + y + z = 30 (I)
x = (2/3 . y) (II)
y = (3/5 . z) (III)

Devemos usar estas relações (II e III) para transformar a equação (I) em uma equação com somente uma incógnita. Eu decidi escolher a incógnita y. Portanto, devemos expressar x e z como funções de y. Já sabemos, entretanto, que x = (2/3 . y) (II). Como y = (3/5 . z) (III), se multiplicarmos esta equação por 5 dos dois lados e depois dividirmos por 3 dos dois lados, teremos: z = (5/3 . y) (IV).
Finalmente, substituindo x e z na equação (I), teremos:
(2/3 . y) + y + (5/3 . y) = 30.
Multiplicando os dois lados desta equação por 3, teremos:
2y + 3y + 5y = 90 -> 10y = 90 -> y = 9
Finalmente, substituindo o valor de y nas equações (II) e (IV), teremos x = 6 e z = 15. Entendeu?

Oi, tenho algumas perguntas em relação a isso. Você disse : ' Eu decidi escolher a incógnita y. Portanto, devemos expressar x e z como funções de y '.

1º Perguntas : O que aconteceu por você ter escolhido a incógnita y? o que isto siguinifica > Eu decidi escolher a incógnita y ?
2º Perguntas : ' Portanto, devemos expressar x e z como funções de y ' Eu não entendi, o que é a função de y ? Por que devo expressar x e z como funções de y? e como devo expressar x e z nesta situação, como funções de y?
3º Perguntas : Tudo bem, eu não entendi esta parte ' se multiplicarmos esta equação por 5 dos dois lados e depois dividirmos por 3 dos dois lados ' Primeiramente, por que devo multiplicar esta equação por 5 dos dois lados e dividir por 3 dos dois lados? Para chegar ao z não é? Mas porque fazendo isto eu chegaria no Z? Agora, posso fazer outra pergunta. Como multiplico 5 dos dois lados e divido por 3 dos dois lados? eu fiz assim;( 5/5 . 3/5 . z = 15/25 . z ) Eu não posso dividir os dois por 3, mas posso por 5.
4º Pergunta : se y = 3/5 . z , por que z = 5/3 . y ?
-----------------------------------------------------------------

Agora, eis o que eu entendi . ' Multiplicando os dois lados desta equação por 3, teremos: ' Eu entendi isto, o mmc daquela equação é = 3
Daí (3:3= 1 . 2y = 2y) ( 3:1= 3.y= 3y ) (3:3 = 1 . 5y = 5y) 3:1 = 3 . 30 = 90
Eu entendi isto e fiz porque sei que descobrir o mmc era necessário, mas a ' Multiplicando os dois lados desta equação por 3 ' não entendi.
Depois que você descobriu o y, eu entendi tudo. Mas antes dessa descoberta, estou me esforçando para entender o que aconteceu.

Bom , é isso. São muitas perguntas mas quero entender a matemática então fazer perguntas é necessário. Além do mais, é ótimo ter uma pergunta sobre matemática respondida. Se estou errando, estou fazendo algo certo, mas também algo errado. E é por isso que fiz tantas perguntas. Para saber o que eu fiz certo e o que eu fiz de errado. Muito obrigado, você está me ajudando bastante a entender a matemática. Eu realmente agradeço

[João P. Ferreira]

Antes de mais muito obrigados a todos os que ajudaram a Jonna, a comunidade agradece

Cara Jonna, antes de postar, peço por favor que leia as regras, são só 4:
viewtopic.php?f=66&t=3793

Obrigados

[Hugoscampos]

Primeiramente, sabemos que:
x + y + z = 30 (I)
x = (2/3 . y) (II)
y = (3/5 . z) (III)

Devemos usar estas relações (II e III) para transformar a equação (I) em uma equação com somente uma incógnita. Eu decidi escolher a incógnita y. Portanto, devemos expressar x e z como funções de y. Já sabemos, entretanto, que x = (2/3 . y) (II). Como y = (3/5 . z) (III), se multiplicarmos esta equação por 5 dos dois lados e depois dividirmos por 3 dos dois lados, teremos: z = (5/3 . y) (IV).
Finalmente, substituindo x e z na equação (I), teremos:
(2/3 . y) + y + (5/3 . y) = 30.
Multiplicando os dois lados desta equação por 3, teremos:
2y + 3y + 5y = 90 -> 10y = 90 -> y = 9
Finalmente, substituindo o valor de y nas equações (II) e (IV), teremos x = 6 e z = 15. Entendeu?

Oi, tenho algumas perguntas em relação a isso. Você disse : ' Eu decidi escolher a incógnita y. Portanto, devemos expressar x e z como funções de y '.

1º Perguntas : O que aconteceu por você ter escolhido a incógnita y? o que isto siguinifica > Eu decidi escolher a incógnita y ?
2º Perguntas : ' Portanto, devemos expressar x e z como funções de y ' Eu não entendi, o que é a função de y ? Por que devo expressar x e z como funções de y? e como devo expressar x e z nesta situação, como funções de y?
3º Perguntas : Tudo bem, eu não entendi esta parte ' se multiplicarmos esta equação por 5 dos dois lados e depois dividirmos por 3 dos dois lados ' Primeiramente, por que devo multiplicar esta equação por 5 dos dois lados e dividir por 3 dos dois lados? Para chegar ao z não é? Mas porque fazendo isto eu chegaria no Z? Agora, posso fazer outra pergunta. Como multiplico 5 dos dois lados e divido por 3 dos dois lados? eu fiz assim;( 5/5 . 3/5 . z = 15/25 . z ) Eu não posso dividir os dois por 3, mas posso por 5.
4º Pergunta : se y = 3/5 . z , por que z = 5/3 . y ?
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Agora, eis o que eu entendi . ' Multiplicando os dois lados desta equação por 3, teremos: ' Eu entendi isto, o mmc daquela equação é = 3
Daí (3:3= 1 . 2y = 2y) ( 3:1= 3.y= 3y ) (3:3 = 1 . 5y = 5y) 3:1 = 3 . 30 = 90
Eu entendi isto e fiz porque sei que descobrir o mmc era necessário, mas a ' Multiplicando os dois lados desta equação por 3 ' não entendi.
Depois que você descobriu o y, eu entendi tudo. Mas antes dessa descoberta, estou me esforçando para entender o que aconteceu.

Bom , é isso. São muitas perguntas mas quero entender a matemática então fazer perguntas é necessário. Além do mais, é ótimo ter uma pergunta sobre matemática respondida. Se estou errando, estou fazendo algo certo, mas também algo errado. E é por isso que fiz tantas perguntas. Para saber o que eu fiz certo e o que eu fiz de errado. Muito obrigado, você está me ajudando bastante a entender a matemática. Eu realmente agradeço

1ª pergunta: escolher a incógnita y significa que eu decidi transformar a equação (I) em uma equação com somente uma incógnita, e essa incógnita é y. Eu escolhi y porque as equações (II) e (III) já expressavam x e z em função de y, mas eu poderia ter escolhido tanto x quanto z e chegaria ao mesmo resultado (mas teria um pouco mais de trabalho).
2ª pergunta: expressar x e z em função de y significa encontrar uma equação no formato: x = (alguma coisa) . y e z = (alguma coisa) . y. Ou seja, encontrar uma equação que relacione os valores de x e z com valores de y. A equação (II), por exemplo, representa x em função de y. A equação (III), no entanto, representa y em função de z. Por isso, precisamos manipular a equação (III) para encontrar z em função de y.
3ª pergunta: a equação (III), que como eu disse representa y em função de z, é: y = (3/5 . z). Queremos que esta equação se torne z = (alguma coisa) . y, certo? Para isso, precisamos sumir com esse 3/5 que multiplica z e, ao fazer isso, alguma coisa aparecerá multiplicando y. Algumas pessoas dizem que passamos o 5 para o outro lado multiplicando, e passamos o 3 para o outro lado dividindo.
É o mesma coisa quando temos o caso: a = b + 3. Queremos saber: b = (alguma coisa) + a. Quanto vale esse alguma coisa? Para descobrir, passamos o 3 para o outro lado, subtraindo, e temos: b = a - 3. O que estamos fazendo, nesse caso, é que estamos subtraindo 3 dos dois lados da equação. Como estamos fazendo a mesma coisa dos dois lados, a igualdade não é desfeita. Temos, então, que a - 3 = b + 3 - 3. Isto significa que b = a - 3.
O mesmo ocorre na equação (III): y = (3/5) . z. Multiplicando por 5 dos dois lados, teremos:
5 . y = 5 . (3/5) . z -> 5 . y = 3 . z (pois o 5 que multiplica "corta" com o 5 que divide). Finalmente, dividindo por 3 dos dois lados, teremos:
5/3 . y = 3 . z /3 -> 5/3 . y = z (pois o 3 que divide "corte" com o 3 que multiplica). A equação (5/3 . y) = z é o que chamamos de z em função de y.
4ª pergunta: foi respondida na resposta anterior.

Espero que tenha entendido!

[Hugoscampos]

Olá, de novo

Eu tenho mais uma dúvida, sobre esta pergunta.

Que número é necessário somar a um e três quartos para se obter cinco e quatro sétimos ?

Vocês poderiam me ajudar a chegar ao resultado? lendo a pergunta percebi que terei que transformar estas frações mistas em frações improprias, portanto terei uma fração imprópria como resultado. Agora, uma outra pergunta, como transformo uma fração imprópria em uma fração mista?

Chamemos este número de x. Sabemos que:
x + 1 e 3/4 = 5 e 4/7.
Antes de mais nada, vamos aprender a transformar estas frações. No caso, 1 e 3/4, significa que temos um inteiro e 3/4 de inteiro. Ora, mas 1 inteiro é igual a 4/4 de um inteiro! Então temos 4/4 de um inteiro + 3/4 de um inteiro, ou seja, 7/4.
A fração 5 e 4/7 significa que temos 5 inteiros e 4/7 de um inteiro. Ora, mas 5 inteiros são 35/7 de um inteiro! Obs: cheguei ao número 35 fazendo 5 . 7, pois temos cinco vezes o inteiro completo, que é de 7/7. Então temos 35/7 + 4/7, ou seja, 39/7.
A equação fica:
x + 7/4 = 39/7. Subtraindo 7/4 dos dois lados, como disse na outra resposta, temos:
x + 7/4 - 7/4 = 39/7 - 7/4 -> x = 39/7 - 7/4.
Agora, para fazer essa subtração, precisamos que as frações possuam o mesmo denominador. O mmc de 7 e 4 é 28. Portanto, o denominador comum entre elas será 28.
Para fazer a fração 39/7 chegar ao denominador de 28, precisamos multiplicá-la por 4/4 (que nada mais é que multiplicar por 1 de um jeito diferente).
39/7 . 4/4 = 156/28
Para fazer a fração 7/4 chegar ao denominador de 28, precisamos multiplicá-la por 7/7 (que nada mais é que multiplicar por 1 de um jeito diferente).
7/4 . 7/7 = 49/28
Finalmente, x = 156/28 - 49/28 = 107/28, que é a reposta final e não pode ser simplificada.

[Jonna]

Olá, de novo

Eu tenho mais uma dúvida, sobre esta pergunta.

Que número é necessário somar a um e três quartos para se obter cinco e quatro sétimos ?

Vocês poderiam me ajudar a chegar ao resultado? lendo a pergunta percebi que terei que transformar estas frações mistas em frações improprias, portanto terei uma fração imprópria como resultado. Agora, uma outra pergunta, como transformo uma fração imprópria em uma fração mista?

Chamemos este número de x. Sabemos que:
x + 1 e 3/4 = 5 e 4/7.
Antes de mais nada, vamos aprender a transformar estas frações. No caso, 1 e 3/4, significa que temos um inteiro e 3/4 de inteiro. Ora, mas 1 inteiro é igual a 4/4 de um inteiro! Então temos 4/4 de um inteiro + 3/4 de um inteiro, ou seja, 7/4.
A fração 5 e 4/7 significa que temos 5 inteiros e 4/7 de um inteiro. Ora, mas 5 inteiros são 35/7 de um inteiro! Obs: cheguei ao número 35 fazendo 5 . 7, pois temos cinco vezes o inteiro completo, que é de 7/7. Então temos 35/7 + 4/7, ou seja, 39/7.
A equação fica:
x + 7/4 = 39/7. Subtraindo 7/4 dos dois lados, como disse na outra resposta, temos:
x + 7/4 - 7/4 = 39/7 - 7/4 -> x = 39/7 - 7/4.
Agora, para fazer essa subtração, precisamos que as frações possuam o mesmo denominador. O mmc de 7 e 4 é 28. Portanto, o denominador comum entre elas será 28.
Para fazer a fração 39/7 chegar ao denominador de 28, precisamos multiplicá-la por 4/4 (que nada mais é que multiplicar por 1 de um jeito diferente).
39/7 . 4/4 = 156/28
Para fazer a fração 7/4 chegar ao denominador de 28, precisamos multiplicá-la por 7/7 (que nada mais é que multiplicar por 1 de um jeito diferente).
7/4 . 7/7 = 49/28
Finalmente, x = 156/28 - 49/28 = 107/28, que é a reposta final e não pode ser simplificada.

Cara, muito obrigado. Você tem me ajudado bastante. Eu agradeço de verdade.

A resposta deste problema que eu vi em um site , é desta imagem.
Eu sei que convertemos os números mistos do problema, mas estávamos inicialmente trabalhando com números mistos, portanto não devemos transformar a fração que obtivemos em um número misto?

Anexos

image002.gif (155 Bytes) Visualizado 2779 vezes

[Hugoscampos]

Transformar esta fração em mista é muito simples. A fração é 107/28. Para termos uma fração mista, precisamos saber quantos "inteiros" cabem existem nessa fração.
Pense o seguinte: Temos 107 fatias de pizza, sendo que cada fatia corresponde a "um vinteoitoávamos" de uma pizza inteira. Quantas pizzas completas podemos formar?
Ora, quantas vezes temos o número 28 dentro de 107? 28 . 3 = 84 e 28 . 4 = 112. Então, não conseguimos formar 4 pizzas completas, pois precisaríamos de 112 fatias (temos 107), mas conseguimos formar 3 pizzas. Quantas fatias sobrarão após formarmos 3 pizzas? Para formar as 3, gastaremos 84 das 107 fatias. Logo, sobrarão 23 fatias.
Temos, então, 3 pizzas completas e 23/28 de pizza -> a fração mista é 3 inteiros e 23/28. Entendeu?

[Jonna]

Transformar esta fração em mista é muito simples. A fração é 107/28. Para termos uma fração mista, precisamos saber quantos "inteiros" cabem existem nessa fração.
Pense o seguinte: Temos 107 fatias de pizza, sendo que cada fatia corresponde a "um vinteoitoávamos" de uma pizza inteira. Quantas pizzas completas podemos formar?
Ora, quantas vezes temos o número 28 dentro de 107? 28 . 3 = 84 e 28 . 4 = 112. Então, não conseguimos formar 4 pizzas completas, pois precisaríamos de 112 fatias (temos 107), mas conseguimos formar 3 pizzas. Quantas fatias sobrarão após formarmos 3 pizzas? Para formar as 3, gastaremos 84 das 107 fatias. Logo, sobrarão 23 fatias.
Temos, então, 3 pizzas completas e 23/28 de pizza -> a fração mista é 3 inteiros e 23/28. Entendeu?

Nossa, entendi sim. Eu estava com tantas dúvidas sobre tantos problemas que já me sinto quase livre. Muito obrigado !

Tenho algumas outras, mas é sobre outro problema.

Problema : Coriolano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderão ser feitos com 18 metros de couro ?

Muito bem, eu posso converter o 1 m de couro em 100 cm, e os 18 metros de couro em 18000 cm. Mas como posso resolver este problema?

Ah, eu quero pedir mais uma coisa. Se possível, você pode fazer alguns exercícios semelhantes a este, com metros e cm, e que para encontrar a resolução eu faça mais ou menos a mesma coisa que se deve fazer neste. Porque um exercício parece não ser suficiente para fixar o pensamento matemático presente em frações como esta.

[Hugoscampos]

Sim, a solução deste problema pode ser obtida transformando tudo em centímetros. Entretando, 18m = 1800cm, e não 18000cm (18m = 18 . 100cm).
A partir daí, temos que Coriolano possui 1800cm de couro e que ele gasta 3/5 de um metro para fazer um cinto. 3/5 de um metro são 3/5 de 100cm, ou seja, 3/5 . 100 = 60cm.
Se ele gasta 60cm de couro para fazer um cinto e ele possui 1800cm, ele poderá fazer 1800/60 cintos, o que totaliza 30 cintos.

Se não quisermos, podemos resolver esta questão sem passar os dados para centímetros. Veja só:
Coriolano gasta 3/5 de metro com um cinto. Ele possui 18m de couro. Quantos "três quintos" existem dentro de 18? Para isso, precisamos transformar o número 18 em uma fração de denominador 5, para podermos fazer a divisão.
18 é igual a 18 . 5/5 (pois 5/5 = 1), e, portanto, 18 = 90/5.
Se Coriolano possui 90/5 de metro de couro e gasta 3/5 de metro de couro para fazer um cinto, ele pode fazer 90/5 dividido por 3/5, que é o mesmo que 90/5 . 5/3. Os números 5 se cancelam, e teremos 90/3 que é igual a 30 cintos.

[Jonna]

Sim, a solução deste problema pode ser obtida transformando tudo em centímetros. Entretando, 18m = 1800cm, e não 18000cm (18m = 18 . 100cm).
A partir daí, temos que Coriolano possui 1800cm de couro e que ele gasta 3/5 de um metro para fazer um cinto. 3/5 de um metro são 3/5 de 100cm, ou seja, 3/5 . 100 = 60cm.
Se ele gasta 60cm de couro para fazer um cinto e ele possui 1800cm, ele poderá fazer 1800/60 cintos, o que totaliza 30 cintos.

Se não quisermos, podemos resolver esta questão sem passar os dados para centímetros. Veja só:
Coriolano gasta 3/5 de metro com um cinto. Ele possui 18m de couro. Quantos "três quintos" existem dentro de 18? Para isso, precisamos transformar o número 18 em uma fração de denominador 5, para podermos fazer a divisão.
18 é igual a 18 . 5/5 (pois 5/5 = 1), e, portanto, 18 = 90/5.
Se Coriolano possui 90/5 de metro de couro e gasta 3/5 de metro de couro para fazer um cinto, ele pode fazer 90/5 dividido por 3/5, que é o mesmo que 90/5 . 5/3. Os números 5 se cancelam, e teremos 90/3 que é igual a 30 cintos.

Ah, eu quero pedir mais uma coisa. Se possível, você pode fazer alguns exercícios semelhantes a este, com metros e cm, e que para encontrar a resolução eu faça mais ou menos a mesma coisa que se deve fazer neste. Porque um exercício parece não ser suficiente para fixar o pensamento matemático presente em frações como esta.

[Hugoscampos]

Sim, a solução deste problema pode ser obtida transformando tudo em centímetros. Entretando, 18m = 1800cm, e não 18000cm (18m = 18 . 100cm).
A partir daí, temos que Coriolano possui 1800cm de couro e que ele gasta 3/5 de um metro para fazer um cinto. 3/5 de um metro são 3/5 de 100cm, ou seja, 3/5 . 100 = 60cm.
Se ele gasta 60cm de couro para fazer um cinto e ele possui 1800cm, ele poderá fazer 1800/60 cintos, o que totaliza 30 cintos.

Se não quisermos, podemos resolver esta questão sem passar os dados para centímetros. Veja só:
Coriolano gasta 3/5 de metro com um cinto. Ele possui 18m de couro. Quantos "três quintos" existem dentro de 18? Para isso, precisamos transformar o número 18 em uma fração de denominador 5, para podermos fazer a divisão.
18 é igual a 18 . 5/5 (pois 5/5 = 1), e, portanto, 18 = 90/5.
Se Coriolano possui 90/5 de metro de couro e gasta 3/5 de metro de couro para fazer um cinto, ele pode fazer 90/5 dividido por 3/5, que é o mesmo que 90/5 . 5/3. Os números 5 se cancelam, e teremos 90/3 que é igual a 30 cintos.

Ah, eu quero pedir mais uma coisa. Se possível, você pode fazer alguns exercícios semelhantes a este, com metros e cm, e que para encontrar a resolução eu faça mais ou menos a mesma coisa que se deve fazer neste. Porque um exercício parece não ser suficiente para fixar o pensamento matemático presente em frações como esta.

Olá, amigo. Será um prazer fazer mais exercícios como este para lhe ajudar. Sinta-se livre para perguntá-los aqui e os resolverei, se souber.