Limite com ideterminação de valores

[F.Augusto]

Determine valores para "a" e "b" de modo que \(\lim_{x->b} \frac{x^4-a}{1-\frac{b^2}{x^2}}=\frac{1}{8}\)



Resp: a=(1/16) e b=(1/2)


muito obrigado !!

[Sobolev]

Repare em primeiro lugar que, como o denominador tende para zero, a única forma de o limite ser finito é o numerador tender também para zero. Por essa razão, devemos ter \(\alpha = b^4\). O limite em causa é então

\(\lim_{x \to b} \frac{x^4-b^4}{1-\frac{b^2}{x^2}}=\lim_{x \to b}\frac{(x^2-b^2)(x^2+b^2)}{\frac{x^2-b^2}{x^2}} = \lim_{x\to b} x^2 (x^2+b^2) = 2b^4\)

Ora, para que o valor do limite seja 1/8, devemos ter \(2b^4 = 1/8 \Leftrightarrow b = \pm \frac 12\), pelo que \(\alpha = (\pm 1/2)^4 = \mathrm{1/16}\). Assim, além da solução que apontou, também existe outra: b=-1/2 e a=1/16.