Mostre e determine uma solução geral
20 ago 2014, 11:21
a)Mostre que se n = 1 então, para todo t > 0
\((-n)[t^{2-(n+1)}]= t^{2-2n}- t^{1-n} - 1\)
b) Determine uma solução geral de\(t^{2}y´ = -1 - ty + t^{2}y^{2}\)
no intervalo (0, +oo)
obs.:Procure uma solução particular da forma y1 (t) = \(t^{-n}\)
\((-n)[t^{2-(n+1)}]= t^{2-2n}- t^{1-n} - 1\)
b) Determine uma solução geral de\(t^{2}y´ = -1 - ty + t^{2}y^{2}\)
no intervalo (0, +oo)
obs.:Procure uma solução particular da forma y1 (t) = \(t^{-n}\)
Re: Mostre e determine uma solução geral
22 ago 2014, 14:10
Não se percebe a pergunta...
Re: Mostre e determine uma solução geral
22 ago 2014, 14:35
Bom dia
segue a questao... obrigado
segue a questao... obrigado
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Re: Mostre e determine uma solução geral
23 ago 2014, 01:00
Olá :D
a)
Substitua n=1 na expressão :
\((-1)*t^{2-2}=t^{2-2}-t^{1-1}-1\)
\((-1)*t^{0}=t^{0}-t^{0}-1\)
perceba que se t>0 sempre teremos a igualdade , pois :
\(-1=1-1-1\)
\(-1=-1\)
b) Veja que se trata de uma equação de riccalti, então :
\(t^2*y^{\prime}=-1-ty+t^2y^{2}\)
\(y^{\prime}=-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}*y+y^{2}\)
Seguindo a sugestão obtemos que \(y=\frac{1}{t}\) é uma solução, agora usando a substituição \(y=\frac{1}{t}+v\) na eq. dif :
\(\left( \frac{1}{t}+v \right)^{\prime}=-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}\left( \frac{1}{t}+v \right)+\left( \frac{1}{t}+v \right)^{2}\)
Tente concluir....
a)
Substitua n=1 na expressão :
\((-1)*t^{2-2}=t^{2-2}-t^{1-1}-1\)
\((-1)*t^{0}=t^{0}-t^{0}-1\)
perceba que se t>0 sempre teremos a igualdade , pois :
\(-1=1-1-1\)
\(-1=-1\)
b) Veja que se trata de uma equação de riccalti, então :
\(t^2*y^{\prime}=-1-ty+t^2y^{2}\)
\(y^{\prime}=-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}*y+y^{2}\)
Seguindo a sugestão obtemos que \(y=\frac{1}{t}\) é uma solução, agora usando a substituição \(y=\frac{1}{t}+v\) na eq. dif :
\(\left( \frac{1}{t}+v \right)^{\prime}=-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}\left( \frac{1}{t}+v \right)+\left( \frac{1}{t}+v \right)^{2}\)
Tente concluir....
Re: Mostre e determine uma solução geral
23 ago 2014, 02:54
poxa amigo, nao consegui prosseguir...cheguei a alguns resultados, mas sem logica...
poderia me mostra a resolução?
abraços
Re: Mostre e determine uma solução geral
23 ago 2014, 15:31
\(\left( \frac{1}{t}+v \right)^{\prime}=-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}\left( \frac{1}{t}+v \right)+\left( \frac{1}{t}+v \right)^{2}\)
\(-\frac{1}{t^2}+v^{\prime}=-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^2}-\frac{v}{t} + \frac{1}{t^2}+\frac{2v}{t}+v^2\)
\(v^{\prime}=\frac{v}{t}+v^2\)
agora veja que é uma eq. de bernoulli logo \(z=v^{1-2}=\frac{1}{v} \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; z^{\prime}=-\frac{1}{v^2}\), multiplique a eq. dif por \(v^{-2}\) :
\(\frac{v^{\prime}}{v^2}=\frac{1}{tv}+1\)
\(z^{\prime}=-\frac{z}{t}-1\)
\(z^{\prime}+\frac{z}{t}=-1\)
Fator integrante : \(\mu(t)=e^{\int \; \frac{1}{t} \; dt}=t\), logo multiplique por "t" :
\(z^{\prime}t+z=-t\)
\((z*t)^{\prime}=-t\)
\(\int \; (z*t)^{\prime}=-\int \; t \; dt\)
\(z*t=-\frac{t^2}{2}+C\)
\(z=-\frac{t}{2}+\frac{C}{t}\)
\(z=-\frac{t^2+C}{2t}\)
Retornando a função "v" : \(v=-\frac{2t}{t^2+C}\) ,agora retornando a função "y" : \(\fbox{\fbox{\fbox{y(x)=\frac{1}{t}-\frac{2t}{t^2+C} }}}\) está é a solução.
\(-\frac{1}{t^2}+v^{\prime}=-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^2}-\frac{v}{t} + \frac{1}{t^2}+\frac{2v}{t}+v^2\)
\(v^{\prime}=\frac{v}{t}+v^2\)
agora veja que é uma eq. de bernoulli logo \(z=v^{1-2}=\frac{1}{v} \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; z^{\prime}=-\frac{1}{v^2}\), multiplique a eq. dif por \(v^{-2}\) :
\(\frac{v^{\prime}}{v^2}=\frac{1}{tv}+1\)
\(z^{\prime}=-\frac{z}{t}-1\)
\(z^{\prime}+\frac{z}{t}=-1\)
Fator integrante : \(\mu(t)=e^{\int \; \frac{1}{t} \; dt}=t\), logo multiplique por "t" :
\(z^{\prime}t+z=-t\)
\((z*t)^{\prime}=-t\)
\(\int \; (z*t)^{\prime}=-\int \; t \; dt\)
\(z*t=-\frac{t^2}{2}+C\)
\(z=-\frac{t}{2}+\frac{C}{t}\)
\(z=-\frac{t^2+C}{2t}\)
Retornando a função "v" : \(v=-\frac{2t}{t^2+C}\) ,agora retornando a função "y" : \(\fbox{\fbox{\fbox{y(x)=\frac{1}{t}-\frac{2t}{t^2+C} }}}\) está é a solução.