O maior desvio padrão possível

[WenderOliveira]

Considerando que eu tenha N elementos e estes tenham valores entre 0 - 1000
1 ) A média (M) de todos seria a soma / N.
2 ) O desvio de um dado elemento (e) seria = |e - M|
3 ) A soma de todos os desvios (S) seria ∑(N) |e - M|
4 ) Empiricamente eu sei que o maior desvio padrão se dá quando tenho um elemento igual a 1000 e todos os demais igual a zero.
5) Como provo matematicamente o argumento 4?

[Sobolev]

Não pode provar matematicamente o argumento 4, uma vez que ele é falso... Experimente calcular o desvio padrão das seguintes listas:

\(\{1000,0,0,0\}
\{1000,1000,0,0\}\)

Verá que a segunda lista tem desvio padrão superior à primeira.

[WenderOliveira]

Não pode provar matematicamente o argumento 4, uma vez que ele é falso... Experimente calcular o desvio padrão das seguintes listas:

\(\{1000,0,0,0\}
\{1000,1000,0,0\}\)

Verá que a segunda lista tem desvio padrão superior à primeira.

Obrigado por responder, você tem razão:
A primeira lista dá 1500
A segunda lista dá 2000

Isso faz apenas com que eu precise procurar outra solução.
Na prática preciso determinar o maior desvio padrão possível para o conjunto.

[Sobolev]

O desvio padrão é máximo colocando metade das observações em cada extremo do conjunto de valores admissíveis. Se o número de observações não for par a adaptação é directa.

[WenderOliveira]

O desvio padrão é máximo colocando metade das observações em cada extremo do conjunto de valores admissíveis. Se o número de observações não for par a adaptação é directa.

Não entendi, você pode dar um exemplo prático (conforme acima)?

[Sobolev]

Se pensar por exemplo no caso de 10 observações, o desvio padrão é máximo para o conjunto de dados

\(\{0,0,0,0,0, 1000,1000,1000,1000,1000\}\)

Esta questão pode ser vista como um problema de optimização em \(\mathbb{R}^n\). Queremos maximizar a função \(f(x_1,\cdots, x_n) = \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\). Usando as ferramentas do cálculo diferencial vemos que o gradiente se anula apenas para \(x = \bar{x}\), isto é, se todas as observações forem iguais. Isto corresponde a um mínimo... Se todas as observações forem iguais o desvio padrão é zero.

Assim, qualquer maximizante de f só pode ocorrer na fronteira... ou seja quando alguma (ou algumas) das observações são 0 ou 1000. Depois ainda é preciso ver que realmente o máximo é atingido nas condições que referi.