integral tripla por coordenada cilíndrica

[jessy]

\(\int \int \int dv\)
onde a região é limitada por \(x^{2} + y^{2} = 4\) e \(y^{2} + z^{2} =4\)
a resposta é \(\frac{128}{3}\)
quero fazer esta questão por coordenadas cilíndricas, meu professor disse que não tem como, mas se está na seção de cilíndricas é porque tem né, ajuda ai galera

[Sobolev]

O integral a calcular seria

\(\int_0^2 \int_0^{2 \pi} \int_{-\sqrt{4-r^2 \sin^2 \theta}}^{\sqrt{4-r^2 \sin^2 \theta}} r dz d \theta dr = \int_0^2 \int_0^{2 \pi} 2r \sqrt{4-r^2 \sin^2 \theta} d \theta dr = \int_0^{2 \pi}\left(\int_0^2 2r \sqrt{4-r^2 \sin^2 \theta} dr\right) d \theta\)

O integral em r é imediato, ficando o cálculo reduzido a

\(\frac{16}{3}\int_0^{2 \pi} \frac{1}{\sin^2 t}(1-(1-\sin^2t)^{3/2})dt\)

[jessy]

O integral a calcular seria

\(\int_0^2 \int_0^{2 \pi} \int_{-\sqrt{4-r^2 \sin^2 \theta}}^{\sqrt{4-r^2 \sin^2 \theta}} r dz d \theta dr = \int_0^2 \int_0^{2 \pi} 2r \sqrt{4-r^2 \sin^2 \theta} d \theta dr = \int_0^{2 \pi}\left(\int_0^2 2r \sqrt{4-r^2 \sin^2 \theta} dr\right) d \theta\)

O integral em r é imediato, ficando o cálculo reduzido a

\(\frac{16}{3}\int_0^{2 \pi} \frac{1}{\sin^2 t}(1-(1-\sin^2t)^{3/2})dt\)

Resolvi mas não chega na resposta, ela estaria errada?

[Sobolev]

O valor é mesmo 128/3... Cuidado com as simplificações, veja por exemplo que
\((1-\sin^2)^{3/2} = |\cos t|^3\)

[Man Utd]

Olá :D


Sobolev a expressão caiu numa função eliptica logo não é integravél, o que se pode fazer para resolver nesses casos é aproximar usando a série binomial.Ou partir para outra modo de resolver sem a utilização de coordenadas cilindricas.Vide o exercício resolvido abaixo:


viewtopic.php?f=10&t=4294



Grande Abraço :D

[Sobolev]

Olá Man Utd,

O primeiro integral (em r) não é o integral de uma função elíptica, devido à multiplicação por r. A primitiva em r é de facto imediata. O integral que é depois obtido também é facilmente calculável, apenas devemos dividir o intervalo de integração de modo a obter subintervalos onde o cos não mude de sinal.

\(\frac{16}{3} \int_0^{2 \pi} \frac{1}{\sin^2 t} (1-(1-\sin^2 t)^{3/2}) dt = \frac{16}{3} \int_0^{2 \pi} \frac{1+|\cos t|^3}{(1-\cos t)(1+\cos t)} dt =
\frac{16}{3}\left(\int_0^{\pi/2} \frac{1+\cos^3 t}{(1+\cos t)(1-\cos t)} dt + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \frac{1-\cos^3 t}{(1+\cos t)(1-\cos t)} dt + \int_{3\pi/2}^{2 \pi} \frac{1+\cos^3 t}{(1+\cos t)(1-\cos t)} dt\right) =
\frac{16}{3} \left( \int_0^{\pi/2} \frac{1+\cos t + \cos^2 t}{1+\cos t} dt + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \frac{1-\cos t + \cos^2 t}{1-\cos t} dt + \int_{3 \pi /2}^{2 \pi} \frac{1+\cos t + \cos^2 t}{1+\cos t} dt\right)=
\frac{16}{3}\left( \int_0^{\pi/2} (1+ \frac{\cos^2 t}{1+\cos t})dt + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (1+\frac{\cos^2 t}{1-\cos t}) dt \int_{3 \pi /2}^{2 \pi} (1+\frac{\cos^2 t}{1+\cos t} dt\right) = \cdots = \frac{16}{3}((2+4+2) = \frac{128}{3}\)


Obs:

\(\int \frac{\cos^2}{1+\cos t} dt = \frac{1}{2} \left(-2 t+3 \tan \left(\frac{t}{2}\right)+\sin \left(\frac{3 t}{2}\right)\sec \left(\frac{t}{2}\right)\right) + C\)

\(\int \frac{\cos^2 t}{1-\cos t} dt = \frac{2 (t+\sin (t)) \sin^2\left(\frac{t}{2}\right)+\sin (t)}{\cos (t)-1}+ C\)

Abraço!

[Man Utd]

Tens razão Sobolev , então fica três formas de resolver (duas no link que enviei) e uma sua.


Obrigado

[jessy]

Por que passa a ser 18/3 no lugar de 16/3 ?

Abraço![/quote]

[Sobolev]

Nenhuma razão especial... Vou corrigir no post anterior !