Integral simples com substituição por U

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Pessoal estou com uma duvida bem besta mesmo. Eu estava aqui resolvendo uma lista de integrais, e cheguei nessa: \(\int \frac{2+lnx}{x}dx\)
De inicio achei bem simples, ai usei o método da substituição simples por U e fui fazendo assim:
\(U=2+lnx\)
\(du=\frac{1}{x}dx\)
\(dx=\frac{du}{x}\)
Até ai de boas, ai fiz a substituição: \(\int \frac{U}{x}\frac{dU}{x}\), cortei os dois X, e ficou \(\int UdU\). Ai que ta minha duvida, o que acontece com esse dU? eu coloco o valor de dU que eu encontrei antes? pq se eu fizer isso, fica diferente da resposta que é \(\frac{1}{2}(2+lnx)^{2}+C\)

[Fraol]

Oi,

\(dx=\frac{du}{x}\)

Aqui é bom corrigir para \(du = xdx\), daí sim você pode cancelar o \(x\).

... e ficou \(\int UdU\). Ai que ta minha duvida, o que acontece com esse dU? eu coloco o valor de dU que eu encontrei antes? pq se eu fizer isso, fica diferente da resposta que é \(\frac{1}{2}(2+lnx)^{2}+C\)

Aqui é só você resolver a integral, assim: \(\int UdU = \frac{U^2}{2} + C = \frac{1}{2}U^2 + C\). Então ao substituir o seu U chega na resposta.